【正文】 c+t，b=c+u(tu0)，所以tu0則1ab+1bc+1ca=1tu+1u1t1u1t=tutu0，即1ab+1bc+1ca0。，b，c為△ABC的三條邊，且有a2+b2=c2，當n206。N*且n179。3時，求證：an+bn。證明：由于a2+b2=c2，可設a=csina，b=ccosa（a為銳角），因為0sina1，0cosa1，則當n179。3時，sinnasin2a，cosnacos2a，所以an+bn=(sinna+cosna)(sin2a+cos2a)=。根據(jù)題目特征，通過構造特殊的單調函數(shù)，利用其單調性質進行放縮求解。，b∈R，求證x1+xa+b1+a+b163。a1+a+b1+b。證明：構造函數(shù)f(x)=f(x1)f(x2)=x11+x1(x179。0)，首先判斷其單調性，設0163。x1x2，因為x21+x2=x1x2(1+x1)(1+x2)0，所以f(x1)f(x2)，所以f(x)在[0,+165。]上是增函數(shù)，取x1=a+b，x2=a+b，顯然滿足0163。x1163。x2，所以f(a+b)163。f(|a|+|b|)，即|a+b|1+|a+b|163。|a|+|b|1+|a|+|b|=|a|1+|a|+|b|+|b|1+|a|+|b|163。|a|1+|a|+|b|1+|b|。證畢。第四篇：用放縮法證明不等式1用放縮法證明不等式時間:20090113 10:47 點擊:1230次不等式是高考數(shù)學中的難點，而用放縮法證明不等式學生更加難以掌握。不等式是衡量學生數(shù)學素質的有效工具，在高考試題中不等式的考查是熱點難點。本難點著重培養(yǎng)考生數(shù)學式的變形能力不等式是高考數(shù)學中的難點，而用放縮法證明不等式學生更加難以掌握。不等式是衡量學生數(shù)學素質的有效工具，在高考試題中不等式的考查是熱點難點。本難點著重培養(yǎng)考生數(shù)學式的變形能力，邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。放縮法的理論依據(jù)是不等式性質的傳遞性，難在找中間量，難在怎樣放縮、怎樣展開。證明不等式時，要依據(jù)題設、題目的特點和內在聯(lián)系，選擇適當?shù)姆趴s方法。⒈利用三角形的三邊關系［例1］ 已知a，b，c是△ABC的三邊，求證：證明：∴﹥?！?為增函數(shù)，又∵點評：學生知道要利用三角形的三邊關系，但無法找到放縮的方法，難在構造函數(shù)。⒉利用函數(shù)的單調性［例2］ 求證：對于一切大于1的自然數(shù)n，恒有。證明： 原不等式變形為，令 則，所以。即 是單調增函數(shù)（n=2，3，?），所以。故原不等式成立。點評：一開始學生就用數(shù)學歸納法進行嘗試，結果失敗，就放棄了。若使不等式的右邊變?yōu)槌?shù)，再用單調性放縮就好了。⒊利用基本不等式［例3］已知f（x）=x+證明：設（1）+（2）得(x﹥0)求證：－，（1）（2）點評：用數(shù)學歸納法證明，思路簡單，但是難度很大，可以通過二項式定理展開，倒序法與基本不等式相結合進行放縮。⒋利用絕對值不等式 ［例4］設證明：∵=，∴，當，時，總有，求證：。又∵所以∴，∴=7。點評：本題是一道函數(shù)與絕對值不等式綜合題，學生不能找到解題的突破口，關鍵在于找到a，b，c與f（0），f（1），f（1）的聯(lián)系，再利用絕對值內三角形不等式適當放縮。⒌利用不等式和等比數(shù)列求和［例5］求證：。證明：=，利用不等式∴﹤=﹤。點評：有些學生兩次用錯位相減進行放縮，但是沒有找到恰當?shù)淖冃畏趴s，對利用不等式進行放縮不熟悉。若經過“湊”與不等式求和放縮就到了。⒍ 利用錯位相減法求和相結合，再利用等比數(shù)列［例6］已知a1, a2, a3, ??, an, ??構成一等差數(shù)列，其前n項和為Sn＝n2, 設bn＝記{bn}的前n項和為Tn,(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)證明：Tn解：(1)a1＝S1＝1, 當n≥2時, an＝Sn－Sn－1＝2n－1。由于n＝1時符合公式，, ∴ an＝2n－1(n≥1).(2)Tn＝, , ∴ Tn＝ 兩式相減得Tn＝＋＝＋(1－)－, ∴ Tn＝＋(1－)－⒎ 利用裂項法求和［例7］已知函數(shù)在上有定義，且滿足①對任意的②當證明：，則.，則，故.在，且由可得，則由題有，即從而函數(shù)在時，.，所以為，即.點評：本題將數(shù)列與不等式、函數(shù)綜合考查數(shù)學邏輯推理能力，分析問題能力，變形能力，可以用數(shù)學歸納法證明不等式，但學生解題的過程不過完善。若用裂項法進行數(shù)列求和放縮就簡單 ⒏利用二項式定理展開［例8］已知數(shù)列滿足(n∈N*),是的前n項的和，并且．（1）求數(shù)列的前項的和；（2）證明：≤．（3）求證： 解：(1)由題意得兩式相減得所以再相加所以數(shù)列是等差數(shù)列．又又所以數(shù)列的前項的和為．而≤.（3）證明：點評：這是一道很有研究價值的用放縮法證明不等式的典例?？疾榱伺c an 的關系，有些學生沒有對an中的n進行討論，也沒有合并，雖用了二項式展開，但無法構造不等式進行放縮。對第3小題的放縮也可裂項法求和進行放縮。第五篇：放縮法證明不等式放縮法證明不等式不等式是數(shù)學的基本內容之一，它是研究許多數(shù)學分支的重要工具，在數(shù)學中有重要的地位，也是高中數(shù)學的重要組成部分，在高考和競賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強，它不僅能夠檢驗學生數(shù)學基礎知識的掌握程度，而且是衡量學生數(shù)學水平的一個重要標志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。一、不等式的初等證明方法：由因導果。：執(zhí)果索因?；静襟E：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結論成立的充分條件或者是充要條件。(2)“分析法”證題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進行表達。：正難則反。：將不等式一側適當?shù)姆糯蠡蚩s小以達證題目的。放縮法的方法有：(1)添加或舍去一些項，如(2)利用基本不等式，如：(3)將分子或分母放大(或縮小)：：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易、化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。二、部分方法的例題換元法是數(shù)學中應用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結構，便于進行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡、化隱蔽為外顯的積極效果。欲證A≥B，可將B適當放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關鍵是要把握一個度，如果放得過大或縮得過小，就會導致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個恰到好處進行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識，同時要求我們具有相當?shù)臄?shù)學思維能力和一定的解題智慧。數(shù)學題目是無限的，但數(shù)學的思想和方法卻是有限的。我們只要學好了有關的基礎知識，掌握了必要的數(shù)學思想和方法，就能順利地應對那無限的題目。題目并不是做得越多越好，題海無邊，總也做不完。關鍵是你有沒有培養(yǎng)起良好的數(shù)學思維習慣，有沒有掌握正確的數(shù)學解題方法。當然，題目做得多也有若干好處：一是“熟能生巧”，加快速度，節(jié)省時間，這一點在考試時間有限時顯得很重要。二是利用做題來鞏固、記憶所學的定義、定理、法則、公式，形成良性循環(huán)。解題需要豐富的知識，更需要自信心。沒有自信就會畏難，就會放棄。有了自信，才能勇往直前，才不會輕言放棄，才會加倍努力地學習，才有希望攻克難關，迎來屬于自己的春天。