【導(dǎo)讀】的作用.解不等式是研究方程和函數(shù)的重要工具，不等式的概念和性質(zhì)涉及到求最大（?。┲?，比較大小，高考復(fù)習(xí)的難點.定要緊扣“一正、二定、三相等”這三個條件。函數(shù)、方程的聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化。分內(nèi)容應(yīng)能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組，能解決簡單的線性規(guī)劃問題。同時注意數(shù)形結(jié)合的。思想在線性規(guī)劃中的運用。的充分而不必要條件(填寫充分而不必要條件、必要而不充分條件、充分。則,2,2,1222222的最小值為13. ，所以首先要調(diào)整符號.，即x=1時，上式成立，故當(dāng)x=1時，max1y?x時等號成立，代入302???xy．下面解法見解法一，下略．。,則pnm,的大小關(guān)系為m＞p＞n. Ryx，，可以考慮使用均值不等式，但所求證的式子中有yx?，故猜想先將所求證的式子進(jìn)行變形，看能否出現(xiàn)

　　

【正文】 平行四邊形 。 A B C D N F E M A11 B11 D11 C11 7. 已知Ｐ為平行四邊形ＡＢＣＤ所在平面外一點，Ｍ為ＰＢ的中點， 求證：ＰＤ∥平面ＭＡＣ． 證明 連ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，連ＭＯ， 則ＭＯ為△ＰＢＤ的中位線， ∴ＰＤ∥ＭＯ，∵ＰＤ ? 平面ＭＡＣ，ＭＯ平面ＭＡＣ， ∴ＰＤ∥平面ＭＡＣ． 8．如圖，已知 P 是平行四邊形 ABCD 所在平面外一點， M 、 N 分別是 AB 、 PC 的中點 奎屯王新敞 新疆（ 1）求證：//MN 平面 PAD ；（ 2）若 4MN BC??， 43PA? ， 求異面直線 PA 與 MN 所成的角的大小 奎屯王新敞 新疆 略證： （ 1）取 PD 的中點 H，連接 AH， DCNHDCNH 21,// ?? A M N HAMNHAMNH ??? ,// 為平行四邊形 P A DAHP A DMNAHMN ??? ,// PADMN //? (2): 連接 AC并取其中點為 O，連接 OM、 ON，則 OM平行且等于 BC的一半， ON平行且等于 PA的一半，所以 ONM? 就是異面直線 PA 與 MN 所成的角，由 4MN BC??， 43PA? 得， OM=2， ON= 32 奎屯王新敞 新疆 所以 030??ONM ，即異面直線 PA 與 MN 成 030 的角 奎屯王新敞 新疆 9． 兩個全等的正方形 ABCD和 ABEF所在平面相交于 AB， M∈ AC， N∈ FB，且 AM=FN，求證： MN∥平面 BCE。 證法一 ：作 MP⊥ BC， NQ⊥ BE， P、 Q為垂足， 則 MP∥ AB， NQ∥ AB。 ∴ MP∥ NQ，又 AM=NF， AC=BF， ∴ MC=NB，∠ MCP=∠ NBQ=45176。 ∴ Rt△ MCP≌ Rt△ NBQ ∴ MP=NQ，故四邊形 MPQN為平行四邊形 ∴ MN∥ PQ ∵ PQ? 平面 BCE， MN在平面 BCE外， ∴ MN∥平面 BCE。 證法二 ：如圖過 M作 MH⊥ AB于 H，則 MH∥ BC， ∴ ABAHACAM? 連結(jié) NH，由 BF=AC， FN=AM，得 ABAHBFFN? ∴ NH//AF//BE 由 MH//BC, NH//BE得 :平面 MNH//平面 BCE ∴ MN∥平面 BCE新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp:@:/。 第 4 課 空間中的垂直關(guān)系 【考點導(dǎo)讀】 1．掌握直線與平面、 平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，并能用它們證明和解決有關(guān)問題。 2．線面垂直是線線垂直與面面垂直的樞紐，要理清楚它們之間的關(guān)系，學(xué)會互相轉(zhuǎn)化，善于利用轉(zhuǎn)化思想。 【基礎(chǔ)練習(xí)】 QPMNF ED CBAHMNF ED CBAMNHA BCDP1．“直線 l 垂直于平面 ? 內(nèi)的無數(shù)條直線”是“ l ?⊥ ”的 必要 條件。 2．如果兩個平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面的位置關(guān)系是 平行或相交 。 3．在正方體中，與正方體的一條對角線垂直的面對角線的條數(shù)是 6 。 4．兩個平面互相垂直，一條直線和其中一個平面平行，則這條 直線和另一個平面的位置關(guān)系是 平行、相交或在另一個平面內(nèi) 。 5．在正方體 1 1 1 1ABCD A B C D? 中，寫出過頂點 A的一個平面 __AB1D1_____，使該平面與正方體的 12條棱所在的直線所成的角均相等 (注：填上你認(rèn)為正確的一個平面即可，不必考慮所有可能的情況 )。 【范例導(dǎo)析】 例 1． 如圖 ,在四棱錐 P— ABCD 中 ,底面 ABCD是正方形 ,側(cè)棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E是 PC 的中點 ,作 EF⊥ PB交 PB于點 F. （ 1）證明 PA//平面 EDB； （ 2）證明 PB⊥平面 EFD. 解析： 本小題考查直線與平面平行 ,直線與平面垂直基 礎(chǔ)知識 ,考查空間想象能力和推理論證能力 . 證明： （ 1）連結(jié) AC,AC交 BD于 O,連結(jié) EO. ∵底面 ABCD是正方形 ,∴點 O是 AC的中點 在 PAC? 中 ,EO是中位線 ,∴ PA // EO 而 ?EO 平面 EDB且 ?PA 平面 EDB, 所以 ,PA // 平面 EDB （ 2）∵ PD⊥底面 ABCD且 ?DC 底面 ABCD,∴ DCPD? ∵ PD=DC,可知 PDC? 是等腰直角三角形 ,而 DE 是斜邊 PC的中線 , ∴ PCDE? . ① 同樣由 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥ BC. ∵底面 ABCD是正方形 ,有 DC⊥ BC,∴ BC⊥平面 PDC. 而 ?DE 平面 PDC,∴ DEBC? . ② 由①和②推得 ?DE 平面 PBC. 而 ?PB 平面 PBC,∴ PBDE? 又 PBEF? 且 EEFDE ?? ,所以 PB⊥平面 EFD. 例 2． 如圖，△ ABC 為正三角形， EC ⊥平面 ABC ， BD ∥ CE ， CE ＝ CA ＝ 2 BD ，M 是 EA 的中點， 求證：（ 1） DE ＝ DA ；（ 2）平面 BDM ⊥平面 ECA ； （ 3）平面 DEA ⊥平面 ECA。 分析： （ 1）證明 DE ＝ DA ，可以通過圖形分割，證明△ DEF ≌△ DBA。（ 2）證明面面垂直的關(guān)鍵在于尋找平面內(nèi)一直線垂直于另一平面。由（ 1）知 DM ⊥ EA ，取 AC 中點 N ，連結(jié)MN 、 NB ，易 得四邊形 MNBD 是矩形。從而證明 DM ⊥平面 ECA。 證明： （ 1）如圖，取 EC 中點 F ，連結(jié) DF。 ∵ EC ⊥平面 ABC ， BD ∥ CE ，得 DB ⊥平面 ABC 。 ∴ DB ⊥ AB ， EC ⊥ BC。 ∵ BD ∥ CE ， BD ＝ 21 CE ＝ FC ， 則四邊形 FCBD 是矩形， DF ⊥ EC。 A B C D P E F 又 BA ＝ BC ＝ DF ，∴ Rt△ DEF ≌ Rt△ ABD ，所以 DE ＝ DA。 （ 2）取 AC 中點 N ，連結(jié) MN 、 NB ， ∵ M 是 EA 的中點，∴ MN 21EC。 由 BD 21EC ，且 BD ⊥平面 ABC ，可得四邊形 MNBD 是矩形，于是 DM ⊥ MN。 ∵ DE ＝ DA ， M 是 EA 的中點，∴ DM ⊥ EA ．又 EA ? MN ＝ M ， ∴ DM ⊥平面 ECA ，而 DM ? 平面 BDM ，則平面 ECA ⊥平面 BDM。 （ 3）∵ DM ⊥平面 ECA ， DM ? 平面 DEA ， ∴ 平面 DEA ⊥平面 ECA。 點評： 面面垂直的問題常常轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直的問題解決。 例 3． 如圖，直三棱柱 ABC— A1B1C1 中， AC ＝ BC ＝ 1， ∠ ACB ＝ 90176。， AA1 ＝ 2 ， D 是 A1B1 中點． （ 1） 求證 C1D ⊥平面 A1B ；（ 2）當(dāng)點 F 在 BB1 上什么位置時， 會使得 AB1 ⊥平面 C1DF ？并證明你的結(jié)論。 分析： （ 1）由于 C1D 所在平面 A1B1C1 垂直平面 A1B ，只要證明 C1D 垂直交線 A1B1 ，由直線與平面垂直判定定理可得 C1D ⊥平面 A1B。（ 2）由（ 1）得 C1D ⊥ AB1 ，只要過 D 作 AB1 的垂線，它與 BB1 的交點即為所求的 F 點位置。 證明： （ 1）如圖，∵ ABC— A1B1C1 是直三棱柱， ∴ A1C1 ＝ B1C1 ＝ 1，且∠ A1C1B1 ＝ 90176。又 D 是 A1B1 的中點， ∴ C1D ⊥ A1B1 .∵ AA1 ⊥平面 A1B1C1 ， C1D ? 平面 A1B1C1 ， ∴ AA1 ⊥ C1D ，∴ C1D ⊥平面 AA1B1B。 （ 2）解：作 DE ⊥ AB1 交 AB1 于 E ，延長 DE 交 BB1 于 F ，連結(jié) C1F ，則AB1 ⊥平面 C1DF ，點 F 即為所求。 ∵ C1D ⊥平面 AA1BB ， AB1 ? 平面 AA1B1B ， ∴ C1D ⊥ AB1 ．又 AB1 ⊥ DF ， DF ? C1D ＝ D ，∴ AB1 ⊥平面 C1DF 。 點評： 本題（ 1）的證明中， 證得 C1D ⊥ A1B1 后，由 ABC— A1B1C1 是直三棱柱知平面 C1A1B1 ⊥平面 AA1B1B ，立得 C1D ⊥平面 AA1B1B。（ 2）是開放性探索問題，注意采用逆向思維的方法分析問題。 【反饋演練】 1．下列命題中錯誤的是 （ 3） 。 （ 1） 若一直線垂直于一平面，則此直線必垂直于這一平面內(nèi)所有直線 （ 2） 若一平面經(jīng)過另一平面的垂線，則兩個平面互相垂直 （ 3） 若一條直線垂直于平面內(nèi)的一條直線，則此直線垂直于這一平面 （ 4） 若平面內(nèi)的一條直線和這一平面的一條斜線的射影垂直，則它也和這條斜線垂直 2．設(shè) zyx , 是空間的不同直線或不同平面，且直線不在平面內(nèi)，下列條件中能保證“若 zx? ，且 yxzy //,則? ”為真命題的是 ①③④ （填所有正確條件的代號） ① x為直線， y， z為平面 ② x， y， z為平面 ③ x， y為直線， z為平面 ④ x， y為平面， z為直線 ⑤ x， y， z為直線 3． 在三棱錐的四個面中，直角三角形最多可以有 ___4__個。 4． 若 AB 的中點 M 到平面 ? 的距離為 cm4 ，點 A 到平面 ? 的距離為 cm6 ，則點 B 到平面 ? 的距離為_2或 14________cm 。 5．命題 A：底面為正三角形， 且頂點在底面的射影為底面中心的三棱錐是正三棱錐。 命題 A的等價命題 B可以是：底面為正三角形，且 的三棱錐是正三棱錐。 答案：側(cè)棱相等（或側(cè)棱與底面所成角相等??） 6． α 、 β 是兩個不同的平面， m、 n是平面 α 及 β 之外的兩條不同直線 .給出四個論斷： ① m⊥ n ② α ⊥ β ③ n⊥ β ④ m⊥ α 以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的 一個 ． ． 命題： 。 答案： m⊥ α ， n⊥ β ， α ⊥ β ? m⊥ n或 m⊥ n， m⊥ α ， n⊥ β ? α ⊥ β 7． 在直角梯形 ABCD 中，∠ A=∠ D=90176。， AB＜ CD， SD⊥平面 ABCD， AB=AD=a， S D= a2 ，在線段 SA 上取一點 E（不含端點）使 EC=AC，截面 CDE與 SB交于點 F。 （ 1）求證：四邊形 EFCD為直角梯形； （ 2）設(shè) SB的中點為 M，當(dāng) ABCD 的值是多少時，能使△ DMC為直角三角形？請給出證明 . 解 ： （ 1）∵ CD∥ AB， AB? 平面 SAB ∴ CD∥平面 SAB 面 EFCD∩面 SAB=EF， ∴ CD∥ EF ∵ ,90 0 ADCDD ???? 又 ?SD 面 ABCD ∴ CDSD? ??CD 平面 SAD，∴ EDCD? 又 CDABEF ?? EFCD? 為直角梯形 (2)當(dāng) 2CDAB? 時， DMC? 為直角三角形 . 022 45,2,2, ???????? B D CaADABBDaCDaAB? BDBCBC ??? ,2 , ??SD 平面 ???? BCBCSDA BC D , 平面 SBD . 在 SBD? 中， MDBSD ,? 為 SB中點， SBMD?? . ??MD 平面 ?MCSBC, 平面 ,SBC MD MC DMC? ? ??為直角三角形。 A BCDSE FM