【導(dǎo)讀】3．設(shè)變量x,y滿足,,則下列不等式恒成立的是（）。6．設(shè)平面點(diǎn)集??11．設(shè)變量,xy滿足約束條件22,24,12．已知正三角形ABC的頂點(diǎn)A(1,1),B(1,3),頂點(diǎn)C在第一象限,若點(diǎn)(x,y)在。的取值范圍是（）。,給出下列三個(gè)結(jié)論:. A．12B．11C．3D．1?

　　

【正文】 條件 . 22.（ 2020 四川文） （ 8）某加工廠用某原料由車間加工出 A 產(chǎn)品，由乙車間加工出 B 產(chǎn)品 .甲車間加工一箱原料 需耗費(fèi)工時(shí) 10小時(shí)可加工出 7 千克 A 產(chǎn)品，每千克 A 產(chǎn)品獲利 40 元 .乙車y 間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí) 6 小時(shí)可加工出 4 千克 B 產(chǎn)品，每千克 B 產(chǎn)品獲利 50 元 .甲、乙兩車間每天功能完成至多 70多箱原料的加工，每天甲、乙車間耗費(fèi)工時(shí)總和不得超過 480小時(shí)，甲、乙兩車間每天獲利最大的生產(chǎn)計(jì)劃為 （ A）甲車間加工原料 10 箱，乙車間加工原料 60 箱 （ B）甲車間加工原料 15 箱，乙車間加工原料 55 箱 （ C）甲車間加工原料 18 箱，乙車間加工原料 50 箱 （ D）甲車間加工原料 40 箱，乙車間加工原料 30 箱 答案： B 解析：解析：設(shè)甲車間加工 原料 x箱，乙車間加工原料 y 箱 則7010 6 480,xyxyx y N?????????? 目標(biāo)函數(shù) z＝ 280x＋ 300y 結(jié)合圖象可得：當(dāng) x＝ 15,y＝ 55 時(shí) z 最大 本題也可以將答案逐項(xiàng)代入檢驗(yàn) . 23.（ 2020 山東理） 24.（ 2020 福建理） 8．設(shè)不等式組x1x2y+3 0yx???????? 所表示的平面區(qū)域是 1? ,平面區(qū)域是 2? 與 1? 關(guān)于直線 3 4 9 0xy? ? ? 對(duì)稱 ,對(duì)于 1? 中的任意一點(diǎn) A與 2? 中的任意一點(diǎn) B, ||AB 的最小值等于 ( ) A． 285 B． 4 C． 125 D． 2 【答案】 B 【解析】由題意知，所求的 ||AB 的最小值，即為區(qū)域 1? 中的點(diǎn)到直線 3 4 9 0xy? ? ? 的距離的 最 小 值 的 兩 倍 ， 畫 出 已 知 不 等 式 表 示 的 平 面 區(qū) 域 ， 如 圖 所 示 ， 可看出點(diǎn)（ 1， 1）到直線 3 4 9 0xy? ? ? 的距離最小，故 ||AB 的最小值為 | 3 1 4 1 9 |245? ? ? ???，所以選 B。 二、填空題 1.（ 2020 上海文） 2 04xx? ?? 的解集是 。 【答案】 ? ?24| ??? xx 解析：考查分式不等式的解法 2 04xx? ?? 等價(jià)于（ x2） (x+4)0,所以 4x2 2.（ 2020 陜西文） x， y 滿足約束條件2 4,1,2 0,xyxyx??????????? ，則目標(biāo)函數(shù) z＝ 3x－ y 的最大值為 . 【答案】 5 解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示， 當(dāng)直線 z＝ 3x－ y 過點(diǎn) C（ 2,1）時(shí)，在 y 軸上截距最小 此時(shí) z 取得最大值 5 3.（ 2020 遼寧文）（ 15）已知 14xy? ? ? ? 且 23xy? ? ? ，則 23z x y??的取值 是 . （答案用區(qū)間表示） 【答案】 (3,8) 【解析】填 (3,8) . 利用線性規(guī)劃，畫出不等式組1423xyxyxyxy? ???? ???? ???? ??? 表示的平面區(qū)域，即可求解 . 4.（ 2020 遼寧理）（ 14）已知 14xy? ? ? ? 且 23xy? ? ? ，則 23z x y??的取值范圍是_______（答案用區(qū)間表示） 【答案】（ 3， 8） 【命題立意】本題考查了線性規(guī)劃的最值問題，考查了同學(xué)們數(shù)形結(jié)合解決問題的能力。 【解析】畫出不等式組1423xyxy? ? ? ??? ? ? ??表示的可行域，在可行域內(nèi)平移直線 z=2x3y，當(dāng)直線經(jīng)過 xy=2 與 x+y=4 的交點(diǎn) A（ 3， 1）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)有最小值 z=2179。 33179。 1=3；當(dāng)直線經(jīng)過 x+y=1與 xy=3 的焦點(diǎn) A（ 1， 2）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)有最大值 z=2179。 1+3179。 2=8. 5.（ 2020 安徽文） (15)若 0, 0, 2a b a b? ? ? ?，則下列不等式對(duì)一切滿足條件的 ,ab恒成立的是 (寫出所有正確命題的編號(hào) )． ① 1ab? ； ② 2ab??； ③ 222ab??； ④ 333ab??； ⑤ 112ab?? 【答案】 ① ， ③ ， ⑤ 【解析】令 1ab??，排除 ②② ；由 2 2 1a b a b a b? ? ? ? ?，命題 ① 正確； 2 2 2( ) 2 4 2 2a b a b a b a b? ? ? ? ? ? ?，命題 ③ 正確； 1 1 2 2aba b ab ab?? ? ? ?，命題 ⑤ 正確。 6.（ 2020浙江文）（ 15）若正實(shí)數(shù) X， Y 滿足 2X+Y+6=XY ， 則 XY 的最小值是 。 【答案】 18 7.（ 2020 山東文）（ 14）已知 ,xy R?? ，且滿足 134xy??，則 xy 的最大值為 . 【答案】 3 8.（ 2020 北京文）（ 11）若點(diǎn) p（ m， 3）到直線 4 3 1 0xy? ? ? 的距離為 4，且點(diǎn) p 在不等式 2xy?＜ 3 表示的平面區(qū)域內(nèi)，則 m= 。 【答案】 3 9.（ 2020 全國卷 1 文） (13)不等式 2 2 032xxx??? 的解集是 . 【答案】 ? ?2 1 , 2x x x? ? ? ? ?或 【命題意圖】本小題主要考查不等式及其解法 【解析】 : 2 2 032xxx??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 0 2 2 1 021x x x xxx ?? ? ? ? ? ? ???，數(shù)軸標(biāo)根得：? ?2 1 , 2x x x? ? ? ? ?或 10.（ 2020 全國卷 1 理） (13)不等式 22 1 1xx? ? ?的解集是 . 11.（ 2020 湖北文） ： 2,xy? 式中變量 ,xy滿足的束條件,1,2yxxyx????????? 則 z 的最大值為______。 【答案】 5 【解析】同理科 12.（ 2020 山東理） 13.（ 2020 安徽理） 14. （ 2020 安 徽 理 ） 13 、設(shè) ,xy滿 足 約 束 條 件2 2 08 4 00 , 0xyxyxy? ? ???? ? ?????? ， 若 目 標(biāo) 函 數(shù)? ?0 , 0z a b x y a b? ? ? ?的最大值為 8，則 ab? 的最小值為 ________。 【答案】 4 【解析】不等式表示的區(qū)域是一個(gè)四邊形， 4 個(gè)頂點(diǎn)是 1( 0 , 0) , ( 0 , 2) , ( , 0) , (1, 4)2 ，易見目標(biāo)函數(shù)在 (1,4) 取最大值 8， 所以 8 4 4ab ab? ? ? ?，所以 24a b ab? ? ?，在 2ab?? 時(shí)是等號(hào)成立。所以 ab? 的最小值為 4. 【規(guī)律總結(jié)】線性規(guī)劃問 題首先作出可行域，若為封閉區(qū)域（即幾條直線圍成的區(qū)域）則區(qū)域端點(diǎn)的值是目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值，求出直線交點(diǎn)坐標(biāo)代入得 4ab? ，要想求 ab? 的最小值，顯然要利用基本不等式 . 15.（ 2020湖北理） 2z x y??，式中變量 x ， y 滿足約束條件,1,2,yxxyx????????? ，則 z 的最大值為 ___________. 【答案】 5 【解析】依題意，畫出可行域（如圖示）， 則對(duì)于目標(biāo)函數(shù) y=2xz， 當(dāng)直線經(jīng)過 A（ 2，－ 1）時(shí)， z 取到最大值， max 5Z ? . 16.（ 2020 湖北理） a0,b0,稱 2abab? 為 a， b 的調(diào)和平均數(shù)。如圖， C 為線段 AB 上的點(diǎn)，且 AC=a， CB=b， O 為 AB 中點(diǎn)，以 AB為直徑做半圓。過點(diǎn) C 作 AB 的垂線交半圓于 D。連結(jié) OD， AD， BD。過點(diǎn) C 作 OD的垂線，垂足為 E。則圖中線段 OD 的長(zhǎng)度是 a， b的算術(shù)平均數(shù)，線段 的長(zhǎng)度是 a,b 的幾何平均數(shù)，線段 的長(zhǎng)度是 a,b 的調(diào)和平均數(shù)。 【答案】 CD DE 【解析】在 Rt△ ADB 中 DC 為高，則由射影定理可得 2CD AC CB??，故 CD ab? ，即 CD長(zhǎng)度為 a,b 的幾 何 平 均 數(shù) ， 將 OC= , , 2 2 2a b a b a ba CD a b O D? ? ?? ? ? ?代入O D C E O C C D? ? ? 可得 abCE abab?? ? 故222 ()2 ( )abO E O C CE ab?? ? ? ?，所以ED=ODOE= 2abab? ，故 DE 的長(zhǎng)度為 a,b 的調(diào)和平均數(shù) . 17.（ 2020 江蘇卷） 1設(shè)實(shí)數(shù) x,y滿 足 3≤ 2xy ≤ 8， 4≤ yx2≤ 9，則 43yx的最大值是 。 【答案】 27 【解析】考查不等式的基本性質(zhì)，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。 2 2( ) [16,81]xy ?， 21 1 1[ , ]83xy ?，32 2421( ) [ 2 , 2 7]xxy y x y? ? ?， 43yx的最大值是 27。 三、解答題 1.（ 2020 廣東理） 19.（本小題滿分 12 分） 某營養(yǎng)師要為某個(gè)兒童預(yù)定午餐和晚餐。已知一個(gè)單位的午餐含 12 個(gè)單位的碳水化合物 6個(gè)單位蛋白質(zhì)和 6個(gè)單位的維生素 C；一個(gè)單位的晚餐含 8個(gè)單位的碳水化合物， 6 個(gè)單位的蛋白質(zhì)和 10 個(gè)單位的維生素 ，該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含 64 個(gè)單位的碳水化合物， 42 個(gè)單位的蛋白質(zhì)和 54 個(gè)單位的維生素 C. 如果一個(gè)單位的午餐、晚餐的費(fèi)用分別是 元和 4 元，那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費(fèi)最少，應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)定多少個(gè)單位的午餐和晚餐？ 解：設(shè) 該兒童分別預(yù)訂 ,xy個(gè)單位的午餐和晚餐 ，共 花費(fèi) z元 ，則 4z x y??。 可行域?yàn)? 12 x+8 y ≥ 64 6 x+6 y ≥ 42 6 x+10 y ≥ 54 x≥ 0， x? N y≥ 0， y? N 即 3 x+2 y ≥ 16 x+ y ≥ 7 3 x+5 y ≥ 27 x≥ 0， x? N y≥ 0， y? N 作出可行域如圖所示： 經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn) ，當(dāng) x=4,y=3 時(shí)， 花費(fèi)最少 ，為 4z x y??=179。 4+4179。 3=22 元． 2.（ 2020 廣東文） 19.（本題滿分 12 分） 某營養(yǎng)師要求為某個(gè)兒童預(yù)訂午餐和晚餐 .已知一個(gè)單位的午餐含 12 個(gè)單位的碳水化合物， 6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和 6 個(gè)單位的維生素 C。一個(gè)單位的晚餐含 8 個(gè)單位的碳水化合物， 6 個(gè)單位的蛋白質(zhì)和 10 個(gè)單位的維生素 ，該兒童這兩餐需要的營狀中至少含 64 個(gè)單位的碳水化合物和 42 個(gè)單位的蛋白質(zhì)和 54 個(gè)單位的維生素 C. 如果一個(gè)單位的午餐、晚餐的費(fèi)用分別是 4 元，那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費(fèi)最少， 應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)訂多少個(gè)單位的午餐和晚餐？ 解：設(shè)為該兒童分別預(yù)訂 x 個(gè)單位的午餐和 y 個(gè)單位的晚餐，設(shè)費(fèi)用為 F，則 F yx ?? ，由題意知： 64812 ?? yx 4266 ?? yx 54106 ?? yx 0,0 ?? yx 畫出可行域： 變換目標(biāo)函數(shù)： 485 Fxy ??? 3.（ 2020湖北理） a0,b0,稱 2abab? 為 a， b的調(diào)和平均數(shù)。如圖，C 為線段 AB 上的點(diǎn)，且 AC=a， CB=b， O 為 AB 中點(diǎn)，以 AB 為直徑做半圓。過點(diǎn) C 作 AB 的垂線交半圓于 D。連結(jié) OD， AD， BD。過點(diǎn) C 作 OD的垂線，垂足為 E。則圖中線段 OD 的長(zhǎng)度是 a， b的算術(shù)平均數(shù)，線段 的長(zhǎng)度是 a,b 的幾何平均數(shù)，線段 的長(zhǎng)度是 a,b 的調(diào)和平均數(shù)。 【答案】 CD DE 【解析】在 Rt△ ADB 中 DC 為高，則由射影定理可得 2CD AC CB??，故 CD ab? ，即 CD長(zhǎng)度為 a,b 的幾 何 平 均 數(shù) ， 將 OC= , , 2 2 2a b a b a ba CD a b O D? ? ?? ? ? ?代入O D C E O C C D? ? ? 可得 abCE abab?? ? 故222 ()2 ( )abO E O C CE ab?? ? ? ?，所以ED=ODOE= 2abab? ，故 DE 的長(zhǎng)度為 a,b 的調(diào)和平均數(shù) . 第二部分 兩年模擬題 題組 一 全國各地市模擬試題分類：不等式 【 2