【導(dǎo)讀】1．如圖,已知AB和AC是圓的兩條弦,,則線段CD的長(zhǎng)為。切于點(diǎn)B,D是弦AC上的點(diǎn),PBADBA???4．在直角三角形ABC中,點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn),5．如圖,∠ACB=90°,CD⊥AB于點(diǎn)D,以BD為直徑的圓與BC交于點(diǎn)E,則。PA=1,AB=2,PO=3,則圓O的半徑等于_______.,連接OD,過點(diǎn)D作OD. 的垂線交O于點(diǎn)C,則CD的最大值為__________.是圓周上的三點(diǎn),滿足30ABC???(Ⅱ)△BCD∽△GBD.邊,ABAC的中點(diǎn),直線DE交ABC?的外接圓于,FG兩點(diǎn),異側(cè)的兩點(diǎn),連結(jié)BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)C,使BDDC?是公共角,所以ABC?不失一般性,取特殊的等腰直角三角形,不妨令4ACBC??要注意點(diǎn)到直線的距離公式.由切割線定理可知2CECBCD??學(xué)生對(duì)于垂直的變化有比較深刻的印象.和數(shù)形結(jié)合思想，重在考查對(duì)平面幾何基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法的掌握，難度較小。從而=ACABADBD，即=ACBDADAB……由AD與O相切于A，得=AEDBAD??從而=AEADABBD，即=AEBDADAB，綜合的結(jié)論，=ACAE……

　　

【正文】 點(diǎn) ,x 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中 ,分別寫出圓 12,CC的極坐標(biāo)方程 ,并求出圓 12,CC的交點(diǎn)坐標(biāo) (用極坐標(biāo)表示 )。 (Ⅱ) 求圓 12CC與 的公共弦的參數(shù)方程 . 12． （ 2020新 課標(biāo)文 理 ） 選修 44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知曲線 1C 的參數(shù)方程是 2cos3sinxy ????? ??(? 是參數(shù) ),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn) ,x 軸的 正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 ,曲線 2C :的極坐標(biāo)方程是 ? =2,正方形 ABCD 的頂點(diǎn)都在 2C 上 ,且A,B,C,D依逆時(shí)針次序排列 ,點(diǎn) A的極坐標(biāo)為 (2,3? ). (Ⅰ) 求點(diǎn) A,B,C,D的直角坐標(biāo) 。 (Ⅱ) 設(shè) P為 1C 上任意一點(diǎn) ,求 2 2 2 2| | | | | | | |P A P B P C P D? ? ?的取值范圍 . 13． （ 2020江蘇） [選修 4 4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 ]在極坐標(biāo)中 ,已知圓 C 經(jīng)過點(diǎn) ? ?2 4P ?， ,圓心為直線 3sin3 2?? ???? ? ?????與極軸的交 點(diǎn) ,求圓 C 的極坐標(biāo)方程 . 14． （ 2020福建理） 選修 44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系中 ,以坐標(biāo)原點(diǎn) O 為幾點(diǎn) ,x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo) 系 .已知直線 l 上兩點(diǎn) ,MN的極坐標(biāo)分別為 23(2, 0), ( , )32? , 圓 C 的參數(shù)方程2 2 cos3 2 sinxy???????????(? 為參數(shù) ). (Ⅰ) 設(shè) P 為線段 MN 的中點(diǎn) ,求直線 OP 的平面直角坐標(biāo)方程 。 (Ⅱ) 判斷直線 l 與圓 C 的位置關(guān)系 . 參考答案 一 、填空題 1. 解析 :將極坐標(biāo)方程化為普通方程為 12x=與 222x y x+=,聯(lián)立方程組成方程組求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo) 13( , )22 和 13( , )22 ,故弦長(zhǎng)等于 3 . 2. 【答案】 22 【解析】曲線 1C 的直角坐標(biāo)方程是 21xy??,曲線 2C 的普通方程是直角坐標(biāo)方程 2 2 2x y a??,因?yàn)榍€ C1: ( 2 c os sin ) 1? ? ???與曲線 C2: a?? ( 0)a? 的一個(gè)交點(diǎn)在極軸上 ,所以 1C 與 x 軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)與 a 值相等 ,由 20, 2yx??,知 a = 22 . 【點(diǎn)評(píng)】本題考 查直線的極坐標(biāo)方程 、 圓的極坐標(biāo)方程 ,直線與圓的位置關(guān)系 ,考查轉(zhuǎn)化的思想 、 方程的思想 ,考查運(yùn)算能力 。題型年年有 ,難度適中 .把曲線 1C 與曲線 2C 的極坐標(biāo)方程都轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程 ,求出與 x 軸交點(diǎn) ,即得 . 3. 解析 :? ?2,1 .法 1:曲線 1C 的普通方程是 225xy??( 0x? , 0y? ),曲線 2C 的普通方程是10xy? ? ? ,聯(lián)立解得 21xy????? (舍去 12xy???? ??? ),所以交點(diǎn)坐標(biāo)為 ? ?2,1 . 法 2:聯(lián)立25 co s 1225 sin2tt??? ?????? ????,消去參數(shù) ? 可得 222215tt? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?,解得1 22t ? (舍去 ), 2 2t ?? ,于是 21xy????? ,所以交點(diǎn)坐標(biāo)為 ? ?2,1 . 4. [解析 ] )0,2(M 的直角坐標(biāo)也是 (2,0),斜率31?k,所以其直角坐標(biāo)方程為23 ?? yx , 化為極坐標(biāo)方程為 : 2s in3c o s ?? ???? , 1)sinc o s( 2321 ?? ??? , 1)sin( 6 ???? ? , )sin(16 ??? ??,即 ?)(?f)sin(16 ???.(或 ?)(?f)cos(1 3???) :將極坐標(biāo)方程化為普通方程為 12x= 與 222x y x+=,聯(lián)立方程組成方程組求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo) 13( , )22 和 13( , )22 ,故弦長(zhǎng)等于 3 . 6. 【答案】 32 【解析】曲線 1C : 1,12xtyt???? ???直角坐標(biāo)方程為 32yx?? ,與 x 軸交點(diǎn)為 3( ,0)2。 曲線 2C : sin ,3cosxay ????? ??直角坐標(biāo)方程為 222 19xya ??,其與 x 軸交點(diǎn)為 ( ,0),( ,0)aa? , 由 0a? ,曲線 1C 與曲線 2C 有一個(gè)公共點(diǎn)在 X軸上 ,知 32a? . 【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的參數(shù)方程 、 橢圓的參數(shù)方程 ,考查等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法等 .曲線 1C與曲線 2C 的參數(shù)方程分別等價(jià)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程 ,找出與 x 軸交點(diǎn) ,即可求得 . :本題考察平面直角坐標(biāo)與極坐 標(biāo)系下的曲線方程交點(diǎn) . 解析 : π4??在直角坐標(biāo)系下的一般方程為 )( Rxxy ?? ,將參數(shù)方程21,( 1)xtyt???? ??? (t 為參數(shù) )轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的一般方程為 222 )2()11()1( ??????? xxty 表示一條拋物線 ,聯(lián)立上面兩個(gè)方程消去 y 有 0452 ??? xx ,設(shè) BA、 兩點(diǎn)及其中點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)分別為 0xxx BA 、 ,則有韋達(dá)定理 2520 ??? BA xxx,又由于點(diǎn) P 點(diǎn)在直線 xy? 上 ,因此AB 的中點(diǎn) )25,25(P . :? ?1,1 .法 1:曲線 1C 的普通方程是 2yx? ( 0y? ),曲線 2C 的普通方程是 222xy??,聯(lián)立解得 11xy?????,所以交點(diǎn)坐標(biāo)為 ? ?1,1 . 法 2:聯(lián)立 2 cos2sintt??? ??????,可得 22 cos 2 sin??? ,即 22 c os 2 c os 2 0??? ? ?,解得2cos 2?? 或 cos 2??? (舍去 ),所以 11t t???? ???,交點(diǎn)坐標(biāo)為 ? ?1,1 . 9. 【答案】 2 【解析】直線轉(zhuǎn)化為 1xy??,曲線轉(zhuǎn)化為圓 229xy??,將題目所給的直線 和圓圖形作出 ,易知有兩個(gè)交點(diǎn) . 【考點(diǎn)定位】 本題考查直線和圓的位置關(guān)系 ,而且直線和圓是以參數(shù)方程的形式給出的 ,學(xué)生平時(shí)對(duì)消參并不陌生的話 ,此題應(yīng)該是比較容易的 . 10. 【解析】距離是 3 圓 224 s i n ( 2 ) 4xy??? ? ? ? ?的圓心 (0,2)C 直線 : ( ) 3 06l R x y???? ? ? ? ?。點(diǎn) C 到直線 l 的距離是 0 2 3 32? ? 二 、解答題 11. 【答案與解析】 【命題意圖】 本題主要考查點(diǎn)的極坐標(biāo)表示、圓的極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的表示及參數(shù)方程與一般方程的轉(zhuǎn)換、解方程組的知識(shí)，難度較小。 【解析 】圓 1C 的極坐標(biāo)方程為 =2? ，圓 2C 的極坐標(biāo)方程為 =4cos??， 解 =2=4cos??????得 =2, = 3???? ，故圓 1C 與圓 2C 交點(diǎn)的坐標(biāo)為 2, , 2,33??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? …… 5分 注：極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一 （ 2）（解法一）由 = cos= sinxy ???????，得圓 1C 與圓 2C 交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 ? ? ? ?1, 3 , 1, 3 故圓 1C 與圓 2C 的公共弦的參數(shù)方程為 =1 3 3=x tyt? ??? （或參數(shù)方程寫成 =1 3 3=x yyy? ????） … 10 分 （解法二） 將 =1x 代入 = cos= sinxy ???????，得 cos =1??，從而 1=cos? ? 于是圓 1C 與圓 2C 的公共弦的參數(shù)方程為 =1 = ta n 33xy ????? ???? 【點(diǎn)評(píng)】 本題要注意圓 221 :4C x y??的圓心為 )0,0( 半徑為 21?r ，圓 222 : ( 2 ) 4C x y? ? ?的圓心為 )0,2( 半徑為 22?r ，從而寫出它們的極坐標(biāo)方程；對(duì)于兩圓的公共弦，可以先求出其代數(shù)形式，然后化成參數(shù)形式，也可以直接根據(jù)直線的參數(shù)形式寫出。 12. 【命 題意圖】本題考查了參數(shù)方程與極坐標(biāo) ,是容易題型 . 【解析】 (Ⅰ) 由已知可得 (2 cos , 2 si n )33A ??, ( 2 c o s( ) , 2 sin ( ) )3 2 3 2B ? ? ? ???, ( 2 c o s( ) , 2 sin ( ) )33C ??????, 33( 2 c o s( ) , 2 sin ( ) )3 2 3 2D ? ? ? ???, 即 A(1, 3 ),B( 3 ,1),C(―1,― 3 ),D( 3 ,1), (Ⅱ) 設(shè) (2 cos , 3 sin )P ??,令 S = 2 2 2 2| | | | | | | |P A P B P C P D? ? ?, 則 S = 221 6 c o s 3 6 s in 1 6????= 232 20sin ?? , ∵ 20 sin 1???,∴ S 的取值范圍是 [32,52]. 13. 【答案】 解 :∵ 圓 C 圓心為直線 3sin3 2?? ???? ? ?????與極軸的交 點(diǎn) , ∴ 在 3sin3 2?? ???? ? ?????中令 =0? ,得 1?? . ∴ 圓 C 的圓心坐標(biāo)為 (1,0). ∵ 圓 C 經(jīng)過點(diǎn) ? ?2 4P ?， ,∴ 圓 C 的半徑為 ? ? 2 22 1 2 1 2 c o s = 14PC ?? ? ? ? ?. ∴ 圓 C 經(jīng)過極點(diǎn) .∴ 圓 C 的極坐標(biāo)方程為 =2cos??. 【考點(diǎn)】 直線和圓的 極坐標(biāo)方程 . 【解析】 根據(jù)圓 C 圓心為直 線 3sin3 2?? ???? ? ?????與極軸的交 點(diǎn)求出 的圓心坐標(biāo) 。根據(jù) 圓C 經(jīng)過點(diǎn) ? ?2 4P ?， 求出圓 C 的半徑 .從而得到 圓 C 的極坐標(biāo)方程 . 14. 【考點(diǎn)定位】本題主要考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程的互化 、 圓的參數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí) ,考查運(yùn)算求解能力 ,考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想 . 【解析】 (Ⅰ) 由題意知 23(2, 0) , (0, )3MN ,因?yàn)?P 是線段 MN 中點(diǎn) ,則 3(1, )3P , 因此 PO 直角坐標(biāo)方程為 : 3 .3yx? (Ⅱ) 因?yàn)橹本€ l 上兩點(diǎn) 23(2, 0) , (0, )3MN ∴ l 垂直平分線方程為 : 3 3 2 3 0xy? ? ?,圓心 (2, 3? ),半徑 2r? . ∴ 2 3 3 3 2 3 3239dr??? ? ??,故直線 l 和圓 C 相交 . 【考點(diǎn)定位】本題主要考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程的互化 、 圓的參數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí) ,考查運(yùn)算求解能力 ,考查轉(zhuǎn)化 化歸思想 . 2020 年高考題 一、選擇題 1.（安徽理 5）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn) ??? c os2)3,2( ?到圓 的圓心的距離為 （ A） 2 （ B） 942?? （ C） 912?? （ D） 3 【答案】 D 2.（北京理 3）在極坐標(biāo)系中，圓 ρ=2sinθ的圓心的極坐標(biāo)系是 A． (1, )2? B． (1, )2?? C． (1,0) D． (1， ? ) 【答案】 B 3.（天津理 11）已知拋物線 C 的參數(shù)方程為28,? ?? ?? （ t 為參數(shù)）若斜率為 1 的 直線經(jīng)過拋物線 C 的焦點(diǎn)，且與圓 ? ?2 224 ( 0 )x y r r? ? ? ?相切， 則 r =________. 【答案】 2 二、填空題 1.（陜西理 15） （考生注意：請(qǐng)?jiān)谙铝腥}中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評(píng)） C．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）直角坐標(biāo)系 xoy 中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸建 立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn) A， B 分別在曲線 13 cos: 4 sinxC y ?????? ???（ ? 為參數(shù)）和曲線 2:1C ?? 上， 則 AB 的最小值為 。 答案 3 2.（湖南理 9）在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C1 的參數(shù)方程為cos ,1 sinxy ? ???? ???（ ? 為參數(shù)）在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系 xOy 取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn) O 為極點(diǎn)，以 x 軸正半軸為極軸）中，曲線 C2 的方程為 ? ?co s sin 1 0? ? ?? ? ?，則 C1 與 C2 的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 【答案】 2 3.（江西理 15）（ 1）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）若曲線的極坐標(biāo)方程為 = 2 sin 4 cos ,? ? ?? 以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為 x 軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則該曲線的直角坐標(biāo)方程為 【答案】 22 4 2 0x y x y? ? ? ? 4.（廣東理 14