【導讀】列、三角函數(shù)等綜合，考查邏輯推理能力，是高考?？嫉囊豁椫匾獌?nèi)容.式分解，配方等)→判斷.形式時可采用作商比較法.若b＞0,欲證a＞b,只需證＞1;欲證a＜b,作商→變形→判斷.若a，b∈R，則a2+b2≥2ab.入手，逐步尋求所需條件成立的充分條件，表現(xiàn)出“執(zhí)果索因”.5ax2+9a3成立的充要條件是______.因為當x≠2a≠0時，有2+5a2＞0.S△ABC=，a、b、c是三角形的三邊，又因為R=1，S△ABC=,所以abc=1.值不等式的形式.

　　

【正文】 物線中至少有一條與 x 軸有交點 ． 立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復習（第一輪） 理科數(shù)學 全國版 49 題型 7 用換元證不等式 2. 已知 a、 b∈ R， a2+b2≤4， 求證： |3a28ab3b2|≤20. 證明： 因為 a、 b∈ R， a2+b2≤4， 所以可設 a=rcosθ,b=rsinθ,其中 0≤r ≤2， 所以 |3a28ab3b2|=r2|3cos2θ4sin2θ| =r2|5cos(2θ+arctan )|≤5r2≤20. 所以原不等式成立 . 立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復習（第一輪） 理科數(shù)學 全國版 50 點評： 換元法一般有代數(shù)式的整體換元 、三角換元等換元方式 .換元時要注意新變元的取值范圍 ， 以及換元后的式子的意義 .常用的換元有： 若 x2+y2=a2， 可設 x=acosθ， y=asinθ； 若 可設 x=acosθ， y=bsinθ； 若 x2+y2≤1， 可設 x=rcosθ， y=rsinθ(0≤r≤1). 2222 1xyab?? ，立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復習（第一輪） 理科數(shù)學 全國版 51 已知 1≤x2+y2≤2，求證： ≤x2xy+y2≤3. 證明 :設 x=rcosθ,y=rsinθ,且 1≤r≤2,θ∈ R, 則 由 1≤sin2θ≤1，得 ≤1 sin2θ≤ . 又 1≤r2≤2，所以 ≤r2(1 sin2θ)≤3， 即 ≤x2xy+y2≤3. 2 2 2 2 2 2 2222 c os c os sin sin1 sin 2 ( 1 sin 2 )22x x y y r r rrrr? ? ? ???? ? ??? ，12123212 1212立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復習（第一輪） 理科數(shù)學 全國版 52 3. 求證： 證明： 令 x∈ R， 則 yx2+yx+y=x2x+1. 于是 (y1)x2+(y+1)x+y1=0.① (1)若 y=1，則 x=0，符合題意； (2)若 y≠1,則①式是關于 x的一元二次方程 . 題型 8 判別式法證不等式 221 13.31xxxx?????2211xxyxx????，立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復習（第一輪） 理科數(shù)學 全國版 53 由 x∈ R，知 Δ=(y+1)24(y1)2≥0， 解得 ≤y≤3且 y≠1. 綜合 (1)(2)，得 ≤y≤3，即 點評： 與二次式有關的不等式證明，可通過構造二次方程，然后利用方程有實數(shù)解的充要條件得出式子的取值范圍，就是所要證明的不等式 . 1313221 13.31xxxx?????立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復習（第一輪） 理科數(shù)學 全國版 54 求證： 證明： 令 則 yx2(y+1)x+y+1=0，① (1)當 y=0時，得 x=1，符合題意； (2)當 y≠0時，則①式是關于 x的一元二次方程 . 由 x∈ R，得 Δ=(y+1)24y(y+1)≥0， 解得 1≤y≤ ,且 y≠0. 綜合 (1)(2),得 1≤y≤ ,所以 2 1 1 1 . 1 3xxx???211xy x Rxx??? ， ，1313 2 1 1 1 . 1 3xxx???立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復習（第一輪） 理科數(shù)學 全國版 55 已知函數(shù) f(x)=ln(x+1)x，若 x＞ 1，證明 : ≤ln(x+1)≤x. 證明： 令 f ′(x)=0，得 x=0. 當 x∈ (1， 0)時， f ′(x)＞ 0。 當 x∈ (0， +∞)時， f ′(x)＜ 0. 題型 不等式與函數(shù)的綜合應用 參考題111x ?1 ( ) 1 .11xfxxx? ????立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復習（第一輪） 理科數(shù)學 全國版 56 所以 f(x)在區(qū)間 (1， 0)上是增函數(shù)， 在區(qū)間 (0， +∞)上是減函數(shù) . 所以當 x＞ 1時， f(x)≤f(0)=0， 即 ln(x+1)x≤0，故 ln(x+1)≤x. 令 則 令 g′(x)=0，得 x=0. 當 x∈ (1， 0)時， g′(x)＜ 0。 當 x∈ (0， +∞)時， g′(x)＞ 0. 1( ) l n ( 1 ) ( 1 )1g x x x?? ? ，2211( ) .1 ( 1 ) ( 1 )xgxx x x? ??? ? ?立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復習（第一輪） 理科數(shù)學 全國版 57 所以 g(x)在 (1， 0)上是減函數(shù)， 在 (0， +∞)上是增函數(shù)， 故當 x＞ 1時， g(x)≥g(0)=0， 即 故 綜上知， 1l n ( 1 ) ( 1 ) 01x x?? ? ，11 l n( 1 ) .1xx???11 l n ( 1 ) .1xxx? ? ??立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復習（第一輪） 理科數(shù)學 全國版 58 1. 在已知中如果出現(xiàn)兩數(shù)相加等于一個正常數(shù) ， 可聯(lián)想到公式 sin2α+cos2α=1， 進行三角換元 . 2. 含有字母的不等式證明 ， 可以化為一邊為零 ， 而另一邊為某個字母的二次三項式 ，考慮判別式 . 3. 有些不等式 ， 從正面證如果不易說清楚 ， 可以考慮反證法 .凡是有 “ 至少 ”“ 唯一 ”或含有其他否定詞的命題 ， 適宜用反證法 .