【正文】 H G 例 1． 已知 ABCD ，從平面 AC 外一點(diǎn) O 引向量 , , ,O E k O A O F K O B O G k O C O H k O D? ? ? ?， （ 1）求證：四點(diǎn) , , ,E F GH 共面；（ 2）平面 AC // 平面 EG ． 分析 ： 證明四點(diǎn)共面可以采用平面向量中的平面向量基本定理證明， 也可以轉(zhuǎn)化為直線共面的條件即幾何證法。 例 2． 已知空間四邊形 ABCD. (1)求證：對(duì)角線 AC 與 BD是異面直線 。 (3)若 AB＝ BC＝ CD＝ DA,作出異面直線 AC 與 BD的公垂線段 . 分析： 證明兩條直線異面通常采用反證法。 例 3． 如圖，已知 E， F 分別是正方體 1 1 1 1ABCD A B C D? 的棱 1AA 和棱 1CC 上的點(diǎn)，且 1AE CF? ，求證：四邊形 1EBFD 是平行四邊形 簡(jiǎn)證 ：由 1AE CF? 可以證得 ABE? ≌ 11CDF? 所以 1BE DF? 又可以由正方體的性質(zhì)證明 1//BE DF 所以四邊形 1EBFD 是平行四邊形 例 4： 如圖，已知平面 ,??，且 , , , ,A B P C P D C D? ? ? ?? ? ?是垂足． （Ⅰ）求證： AB? 平面 PCD ； （Ⅱ）若 1, 2PC PD CD? ? ?，試判斷平面 ? 與平面 ? 的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 解： （Ⅰ）因?yàn)?,PC AB????，所以 PC AB? ． 同理 PD AB? ． 又 PC PD P? ，故 AB? 平面 PCD ． （Ⅱ）平面 ?? 平面 ? 。 （ ） （ 4）四邊形的一邊不可能既和它的鄰邊垂直，又和它的對(duì)邊垂直 （ ） 答案：（ 1） （ 2） （ 3）√ （ 4） 2．定點(diǎn) P不在△ ABC所在平面內(nèi)，過(guò) P作平面α，使△ ABC的三個(gè)頂點(diǎn)到α的距離相等，這樣的平面共有 4 個(gè)。其中所有正確命題的序號(hào)是 (1)(2) 。 求證： AC和 BD是異面直線。 同理可證平面 β和γ也重合，所以平面α和β也重合。 所以 AC和 BD是異面直線。 2．明確定義與定理的不同，定義是可逆的，既是判定也是性質(zhì)，而判定定理與性質(zhì)定理多是不可逆的。 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1． 若 ba、 為異面直線，直線 c∥ a，則 c與 b的位置關(guān)系是 異面或相交 。 3．對(duì)于任意的直線 l與平 面 a,在平面 a內(nèi)必有直線 m,使 m與 l 垂直 。 【范例導(dǎo)析】 例 1． 如圖，在四面體 ABCD中，截面 EFGH是平行四邊形． 求證： AB∥平面 EFG． α β l D B C A 證明 ：∵面 EFGH是截面． ∴點(diǎn) E， F， G， H分別在 BC， BD， DA， AC上． ∴ EH 面 ABC， GF 面 ABD， 由已知， EH∥ GF．∴ EH∥面 ABD． 又 ∵ EH 面 BAC，面 ABC∩面 ABD=AB ∴ EH∥ AB． ∴ AB∥面 EFG． 例 2． 如圖，在正方體 ABCD— A1B1C1D1中，點(diǎn) N在 BD上，點(diǎn) M在 B1C上，并且 CM=DN. 求證 :MN∥平面 AA1B1B. 分析： “線線平行”、“線面平行”、“面面平行”是可以互相轉(zhuǎn)化的。 簡(jiǎn)證： 法 1：把證“線面平行”轉(zhuǎn)化為證“線線平行”。 法 2：把證“線面平行”轉(zhuǎn)化為證“線線平行”。 過(guò) M作 MQ//BB1交 BC于 B1， 連 NQ,則平面 MNQ與平面 ABB1A1平 行， 從而證得 MN∥平面 ABB1A1. 點(diǎn)評(píng)： 證明線面或面面平行的時(shí)候一定要注意相互的轉(zhuǎn)化，非常靈活。 （ 1） 若 ,m m n???則 n?∥ （ 2） 若 m ??∥ ,n∥ ,則 m∥ n （ 3） 若 ,mn??? ∥ , 則 m∥ n （ 4） 若 m 、 n 與 ? 所成的角相等，則 m∥ n 2. 設(shè) a、 b是兩條異面直線，那么下列四個(gè)命題中的假命題是 （ 2） 。 （ 1） 若 a∥ M， b∥ M，則 a∥ b （ 2） 若 a∥ M， b⊥ a，則 b⊥ M （ 3） 若 a M， b M，且 l⊥ a， l⊥ b，則 l⊥ M （ 4） 若 a⊥ M， a∥ N，則 M⊥ N 4．“任意的 a ?? ，均有 //a? ”是“任意 b ?? ，均有 //b? ”的 充要條件 。 A B C D N F E M A11 B11 D11 C11 7. 已知Ｐ為平行四邊形ＡＢＣＤ所在平面外一點(diǎn)，Ｍ為ＰＢ的中點(diǎn)， 求證：ＰＤ∥平面ＭＡＣ． 證明 連ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，連ＭＯ， 則ＭＯ為△ＰＢＤ的中位線， ∴ＰＤ∥ＭＯ，∵ＰＤ ? 平面ＭＡＣ，ＭＯ平面ＭＡＣ， ∴ＰＤ∥平面ＭＡＣ． 8．如圖，已知 P 是平行四邊形 ABCD 所在平面外一點(diǎn)， M 、 N 分別是 AB 、 PC 的中點(diǎn) 奎屯王新敞 新疆（ 1）求證：//MN 平面 PAD ；（ 2）若 4MN BC??， 43PA? ， 求異面直線 PA 與 MN 所成的角的大小 奎屯王新敞 新疆 略證： （ 1）取 PD 的中點(diǎn) H，連接 AH， DCNHDCNH 21,// ?? A M N HAMNHAMNH ??? ,// 為平行四邊形 P A DAHP A DMNAHMN ??? ,// PADMN //? (2): 連接 AC并取其中點(diǎn)為 O，連接 OM、 ON，則 OM平行且等于 BC的一半， ON平行且等于 PA的一半，所以 ONM? 就是異面直線 PA 與 MN 所成的角，由 4MN BC??， 43PA? 得， OM=2， ON= 32 奎屯王新敞 新疆 所以 030??ONM ，即異面直線 PA 與 MN 成 030 的角 奎屯王新敞 新疆 9． 兩個(gè)全等的正方形 ABCD和 ABEF所在平面相交于 AB， M∈ AC， N∈ FB，且 AM=FN，求證： MN∥平面 BCE。 ∴ MP∥ NQ，又 AM=NF， AC=BF， ∴ MC=NB，∠ MCP=∠ NBQ=45176。 證法二 ：如圖過(guò) M作 MH⊥ AB于 H，則 MH∥ BC， ∴ ABAHACAM? 連結(jié) NH，由 BF=AC， FN=AM，得 ABAHBFFN? ∴ NH//AF//BE 由 MH//BC, NH//BE得 :平面 MNH//平面 BCE ∴ MN∥平面 BCE新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/。 2．線面垂直是線線垂直與面面垂直的樞紐，要理清楚它們之間的關(guān)系，學(xué)會(huì)互相轉(zhuǎn)化，善于利用轉(zhuǎn)化思想。 2．如果兩個(gè)平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是 平行或相交 。 4．兩個(gè)平面互相垂直，一條直線和其中一個(gè)平面平行，則這條 直線和另一個(gè)平面的位置關(guān)系是 平行、相交或在另一個(gè)平面內(nèi) 。 【范例導(dǎo)析】 例 1． 如圖 ,在四棱錐 P— ABCD 中 ,底面 ABCD是正方形 ,側(cè)棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E是 PC 的中點(diǎn) ,作 EF⊥ PB交 PB于點(diǎn) F. （ 1）證明 PA//平面 EDB； （ 2）證明 PB⊥平面 EFD. 解析： 本小題考查直線與平面平行 ,直線與平面垂直基 礎(chǔ)知識(shí) ,考查空間想象能力和推理論證能力 . 證明： （ 1）連結(jié) AC,AC交 BD于 O,連結(jié) EO. ∵底面 ABCD是正方形 ,∴點(diǎn) O是 AC的中點(diǎn) 在 PAC? 中 ,EO是中位線 ,∴ PA // EO 而 ?EO 平面 EDB且 ?PA 平面 EDB, 所以 ,PA // 平面 EDB （ 2）∵ PD⊥底面 ABCD且 ?DC 底面 ABCD,∴ DCPD? ∵ PD=DC,可知 PDC? 是等腰直角三角形 ,而 DE 是斜邊 PC的中線 , ∴ PCDE? . ① 同樣由 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥ BC. ∵底面 ABCD是正方形 ,有 DC⊥ BC,∴ BC⊥平面 PDC. 而 ?DE 平面 PDC,∴ DEBC? . ② 由①和②推得 ?DE 平面 PBC. 而 ?PB 平面 PBC,∴ PBDE? 又 PBEF? 且 EEFDE ?? ,所以 PB⊥平面 EFD. 例 2． 如圖，△ ABC 為正三角形， EC ⊥平面 ABC ， BD ∥ CE ， CE ＝ CA ＝ 2 BD ，M 是 EA 的中點(diǎn)， 求證：（ 1） DE ＝ DA ；（ 2）平面 BDM ⊥平面 ECA ； （ 3）平面 DEA ⊥平面 ECA。（ 2）證明面面垂直的關(guān)鍵在于尋找平面內(nèi)一直線垂直于另一平面。從而證明 DM ⊥平面 ECA。 ∵ EC ⊥平面 ABC ， BD ∥ CE ，得 DB ⊥平面 ABC 。 ∵ BD ∥ CE ， BD ＝ 21 CE ＝ FC ， 則四邊形 FCBD 是矩形， DF ⊥ EC。 （ 2）取 AC 中點(diǎn) N ，連結(jié) MN 、 NB ， ∵ M 是 EA 的中點(diǎn)，∴ MN 21EC。 ∵ DE ＝ DA ， M 是 EA 的中點(diǎn)，∴ DM ⊥ EA ．又 EA ? MN ＝ M ， ∴ DM ⊥平面 ECA ，而 DM ? 平面 BDM ，則平面 ECA ⊥平面 BDM。 點(diǎn)評(píng)： 面面垂直的問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直的問(wèn)題解決。 AA1 ＝ 2 ， D 是 A1B1 中點(diǎn)． （ 1） 求證 C1D ⊥平面 A1B ；（ 2）當(dāng)點(diǎn) F 在 BB1 上什么位置時(shí)， 會(huì)使得 AB1 ⊥平面 C1DF ？并證明你的結(jié)論。（ 2）由（ 1）得 C1D ⊥ AB1 ，只要過(guò) D 作 AB1 的垂線，它與 BB1 的交點(diǎn)即為所求的 F 點(diǎn)位置。又 D 是 A1B1 的中點(diǎn)， ∴ C1D ⊥ A1B1 .∵ AA1 ⊥平面 A1B1C1 ， C1D ? 平面 A1B1C1 ， ∴ AA1 ⊥ C1D ，∴ C1D ⊥平面 AA1B1B。 ∵ C1D ⊥平面 AA1BB ， AB1 ? 平面 AA1B1B ， ∴ C1D ⊥ AB1 ．又 AB1 ⊥ DF ， DF ? C1D ＝ D ，∴ AB1 ⊥平面 C1DF 。（ 2）是開(kāi)放性探索問(wèn)題，注意采用逆向思維的方法分析問(wèn)題。 （ 1） 若一直線垂直于一平面，則此直線必垂直于這一平面內(nèi)所有直線 （ 2） 若一平面經(jīng)過(guò)另一平面的垂線，則兩個(gè)平面互相垂直 （ 3） 若一條直線垂直于平面內(nèi)的一條直線，則此直線垂直于這一平面 （ 4） 若平面內(nèi)的一條直線和這一平面的一條斜線的射影垂直，則它也和這條斜線垂直 2．設(shè) zyx , 是空間的不同直線或不同平面，且直線不在平面內(nèi)，下列條件中能保證“若 zx? ，且 yxzy //,則? ”為真命題的是 ①③④ （填所有正確條件的代號(hào)） ① x為直線， y， z為平面 ② x， y， z為平面 ③ x， y為直線， z為平面 ④ x， y為平面， z為直線 ⑤ x， y， z為直線 3． 在三棱錐的四個(gè)面中，直角三角形最多可以有 ___4__個(gè)。 5．命題 A：底面為正三角形， 且頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心的三棱錐是正三棱錐。 答案：側(cè)棱相等（或側(cè)棱與底面所成角相等??） 6． α 、 β 是兩個(gè)不同的平面， m、 n是平面 α 及 β 之外的兩條不同直線 .給出四個(gè)論斷： ① m⊥ n ② α ⊥ β ③ n⊥ β ④ m⊥ α 以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的 一個(gè) ． ． 命題： 。 AB＜ CD， SD⊥平面 ABCD， AB=AD=a， S D= a2 ，在線段 SA 上取一點(diǎn) E（不含端點(diǎn)）使 EC=AC，截面 CDE與 SB交于點(diǎn) F。 A BCDSE FM