高中數(shù)學(xué)選修4-5：42數(shù)學(xué)歸納法證明不等式學(xué)案-文庫吧資料
2024-11-06 18:24本頁面
【正文】 ab44a2b2+33ab+8(14ab)(8ab)=179。2ab,:作差比較法Qa+b=1,a0,b0 \a+b179。163?；騛b179。0，() 即證4(ab)233(ab)+8179。ab4分析:本題是高中階段一道普通的不等式證明題,如讓學(xué)生獨(dú)立完成,可得到如下解決:分析法1125(a+)(b+)179。23江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）Qa1,b1,c++179。b1c1a1a2b2c2a+b+c++179。3 ? 2 顯然?與?相矛盾,所以假設(shè)不成立.\(1a)b,(1b)c,(1c)a,【啟迪】:命題中出現(xiàn)“至少”,“都”,“同時(shí)”,“至多”等字樣時(shí),可以采用反證法, 反證的關(guān)鍵在于找出與命題相反的結(jié)論,a2b2c2++179。,(1c)a163。(1a)b163。234。1, 同理,替換x,y可得z206。233。233。3235。y163。1,(y5)4(y5y+8)179。7249。R,且方程有解,\根的判別式d=b24ac179。31,7249。f(2), 111136163。2時(shí),sn=12江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）化簡,得(2n+1)sn=2+(2n1)sn1由已知條件得xn 其通項(xiàng)公式為xn \{xn}是以首項(xiàng)為x1=xn1+2,即xnxn1=2=2公差d=2的等差數(shù)列，=+++..........+(2)2222 xnxnxx+1n+22n11111++......+] =[2+222 4n(n+1)(n+2)(2n)11111+++......+] [4n(n1)n(n+1)(n+1)(n+2)(2n1)(2n)1111111=[()+()+()+......4n1nnn+1n+1n+2111111n+1+()]=()=()2n12n4n12n42n(n1)1n+1 = 42(n+1)26(n+1)+411= 442(n+1)6+n+14 令f(n)=2(n+1)+,當(dāng)n179。N)【例1】 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為sn=12(1)設(shè)xn=(2n+1)sn,求證:數(shù)列{xn}+++..........+(2)當(dāng)n179。:發(fā)現(xiàn)作差變形后符號(hào)很難判斷,且無法化簡,考慮到兩邊都是正數(shù),可以作商, 判斷比值和1的大小關(guān)系,:Qab0,(ab)aba+b20,\將不等式兩邊相除，ba2baa=()2 baabb 得(ab)a+b2=aab2bbaa2==b時(shí),()baab10, 當(dāng)0ba時(shí)，b2baaa02()()=,bbbaaa0aab2()()=1.10 當(dāng)0ab時(shí)，,同理可得bbb2 綜上所述,對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)a,b都有(ab)a+b2163。1).分析:用作差法來做,則需去掉絕對(duì)值,必須要分a1和0a1兩種情況來考慮:(1)當(dāng)0a1時(shí),Q01x1,11+x2\loga(1x)loga(1+x)=loga(1x)+loga(1+x)=loga(1x)Q0x1,\01x1\loga(1x)0,得證.（2）當(dāng)a1時(shí),Q01x1,11+x2\ loga(1x)loga(1+x)=loga(1x)loga(1+x)=loga(1x)Q0x1,\01x122222 江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）\loga(1x)0,（1）（2）可得loga(1x)loga(1+x).【啟迪】:當(dāng)不等式兩邊的式子比較相近,【例2】 設(shè)a,b206。(x)0 xf(x)在(e,+165?！締⒌稀?有些復(fù)雜的不等式可以看成一個(gè)未知量的簡單不等式,再找?guī)讉€(gè)未知量之間的關(guān)系,【例6】 當(dāng)abe時(shí),證明a:要證ab,只要證lnababablnba,即證明blnaalnb0, 也就是要證明blnxxlnb,因此構(gòu)造函數(shù)f(x)=blnxxlnb,然后只需要證明 證:要證ab,只要證lnabaf(x) xblnba即證blnaalnb0設(shè)f(x)=blnxxlnb(xbe),則f162。d疊加可得ab+bc+ca179。0\其判別式 Q江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）,c看成未知量,可得ca179。022xaf(x)=x+2(b+c)x+(bc)+4d用替換,構(gòu)造一個(gè)函數(shù) a2x2前面的系數(shù)大于0,所以該拋物線開口向上且當(dāng)x=a時(shí),f(a)163。2(a2+b2+c2)+4d，179。(x)0,所以F(x)在R上為增函數(shù)，f(a)f(b)\af(a)bf(b)Q0ab,\ 得證.【啟迪】：把條件進(jìn)行簡單的變形后,很容易發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)函數(shù)積的導(dǎo)數(shù),因此可以構(gòu)造出F(x),【例5】 設(shè)a,b,c,d206。(x)f(x)恒成立,且常數(shù)a ,b滿足0ab,求證:af(a)xf(x)，162。xxy+y163。3,r179。(1sin2q)r163。1sin2q163。2,0163。2x2+y2163。2 【例3】 已知 ,求證:222 分析:本題看上去毫無聯(lián)系,但發(fā)現(xiàn)x+ 換元法進(jìn)行嘗試,:因?yàn)?1163。163。(0)=0,即f(x)在(0,1)遞減∴f(x)f
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