新人教a版高中數(shù)學(xué)選修4-5用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式-文庫吧資料
2024-12-16 08:44本頁面
【正文】 ：設(shè)數(shù)列 {an}的公差為 d，由已知，得??? ????? .28)3)(2( ,52111 dada da ∴ (103d)(5+d)=28, ∴ 3d2+5d22=0,解之得 d=2或 d= 311? . ∵ 數(shù)列 {an}各項均為正， ∴ d=2.∴ a1=1, ∴ an=2n1. (2)證明： ∵ n∈ N+, ∴ 只需證明 (1+11a )(1+21a )… (1+na1 ) ≥ 12332 ?n 成立 . ① 當(dāng) n=1時，左邊 =2，右邊 =2， ∴ 不等式成立 . ② 假設(shè)當(dāng) n=k時，不等式成立，即 （ 1+11a ） (1+21a )… (1+ka1 )≥ 12332 ?k . 那么當(dāng) n=k+1時， (1+11a )(1+21a )… (1+ka1 )(1+11?ka) ≥ 12332 ?k (1+11?ka)=12 22332 ??? kk 以下只需證明 323 3212 223 32 ???? kkk. 即只需證明 2k+2≥ 3212 ??? kk . ∵ (2k+2)2( 3212 ??? kk )2=10, ∴ (1+111a? )(1+211a? )… (1+111?? ka) ≥ 1)1(23 32323 32 ???? kk . 綜上 ①② 知，不等式對于 n∈ N+都成立 . 【例 3】 （經(jīng)典回放）設(shè) Pn=(1+x)n,Qn=1+nx+2 )1( ?nnx2,n∈ N+,x∈ (1,+∞),試比較 Pn與 Qn的大小，并加以證明 . 思路分析： 這類問題，一般都是將 Pn、 Qn退至具體的 Pn、 Qn開始觀察，以尋求規(guī)律，作出猜想，再證明猜想的正確性 . P1=1+x=Q1,P2=1+2x+x2=Q2, P3=1+3x+3x2+x3,Q3=1+3x+3x2, P3Q3=x3, 由此推測 ,Pn與 Qn的大小要由 x的符號來決定 . 解： (1)當(dāng) n=1,2時， Pn=Qn. (2)當(dāng) n≥3時，（以下再對 x進行分類） . ① 若 x∈ (0,+∞)，顯然有 PnQn。akb (2)對任意 n∈ N+，試指出 f(n)與 g(2n)的大小關(guān)系，并證明你 的結(jié)論 . 思路分析： 欲比較 f(n)與 g(2n)的大小，需求出 f(n)與 g(2n)的關(guān)于 n的表達式，以利于特殊探路 —— 從 n=1， 2， 3， … 中尋找、歸納一般性結(jié)論，再用數(shù)學(xué)歸納法證明 . 解： (1)由 y= 1?x +1,得 1?x =y1(y≥1), 有 x+1=(y1)2,即 x=y22y,故 g(x)=x22x(x≥1). (2)∵ f(n)=(a+b)nanbn， g(2n)=4n2n+1, 當(dāng) n=1時 f(1)=0,g(2)=0，有 f(1)=g(2). 當(dāng) n=2時， f(2)=(a+b)2a2b2=2ab=8, g(22)=4223=8,f(2)=g(22). 當(dāng) n=3時， f(3)=(a+b)3a3b3=3a2b+3ab2=3ab(a+b) 3ab ab2 =48. g(23)=4324=48,有 f(3)g(23). 當(dāng) n=4時 ,f(4)=(a+b)4a4b4 =4a3b+4ab3+6a2b2 =4ab(a2+b2)+6a2b2 4ab2ab+6a2b2 =14a2
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