新人教a版高中數(shù)學(xué)選修4-5第三講柯西不等式與排序不等式-文庫(kù)吧資料
2024-11-27 20:23本頁(yè)面
【正文】 、講授新課： 1. 教學(xué)柯西不等式： ① 提出定理 1：若 a、 b、 c、 d為實(shí)數(shù)，則 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )a b c d ac bd? ? ? ?. → 即二維形式的柯西不等式 → 什么時(shí)候取等號(hào)？ ② 討論：二維形式的柯西不等式的其它證明方法？ 證法二：（綜合法） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )a b c d a c a d b c b d? ? ? ? ? ? 2 2 2( ) ( ) ( )ac bd ad bc ac bd? ? ? ? ? ?. （要點(diǎn)：展開(kāi)→配方） 證法三：（向量法）設(shè)向量 ( , )m ab? ， ( , )n cd? ，則 22||m a b??， 22||n c d??. ∵ m n ac bd? ? ? ，且 | | | | c os ,m n m n m n? ? ?，則 | | | | | |n m n? . ∴ … .. 證法四：（函數(shù)法）設(shè) 2 2 2 2 2( ) ( ) 2( )f x a b x ac bd x c d? ? ? ? ? ?，則 22( ) ( ) ( )f x ax c bx d? ? ? ?≥ 0 恒成立 . ∴ 2 2 2 2 2[ 2 ( ) ] 4 ( ) ( )a c b d a b c d? ? ? ? ? ? ?≤ 0，即 … .. ③ 討論：二維形式的柯西不等式的一些變式？ 變式： 2 2 2 2 ||a b c d ac bd? ? ? ? 或 2 2 2 2 | | | |a b c d a c b d? ? ? ? 或 2 2 2 2a b c d ac bd? ? ? ?. ④ 提出定理 2：設(shè) ,??是兩 個(gè)向量，則 | | | || |? ? ? ?? . 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） → 討論：上面時(shí)候等號(hào)成立？（ ? 是零向量，或者 ,??共線(xiàn)） ⑤ 練習(xí)：已知 a、 b、 c、 d為實(shí)數(shù)，求證 2 2 2 2 2 2( ) ( )a b c d a c b d? ? ? ? ? ? ?. 證法：（分析法）平方 → 應(yīng)用柯西不等式 → 討論：其幾何意義？（構(gòu)造三角形） 2. 教學(xué)三角不等式： ① 出示定理 3：設(shè) 1 1 2 2, , ,x y x y R? ，則 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2( ) ( )x y x y x x y y? ? ? ? ? ? ?. 分析其幾何意義 → 如何利用柯西不等式證明 → 變式：若 1 1 2 2 3 3, , , , ,x y x y
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