【正文】
、講授新課: 1. 教學(xué)柯西不等式: ① 提出定理 1:若 a、 b、 c、 d為實數(shù),則 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )a b c d ac bd? ? ? ?. → 即二維形式的柯西不等式 → 什么時候取等號? ② 討論:二維形式的柯西不等式的其它證明方法? 證法二:(綜合法) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )a b c d a c a d b c b d? ? ? ? ? ? 2 2 2( ) ( ) ( )ac bd ad bc ac bd? ? ? ? ? ?. (要點(diǎn):展開→配方) 證法三:(向量法)設(shè)向量 ( , )m ab? , ( , )n cd? ,則 22||m a b??, 22||n c d??. ∵ m n ac bd? ? ? ,且 | | | | c os ,m n m n m n? ? ?,則 | | | | | |n m n? . ∴ … .. 證法四:(函數(shù)法)設(shè) 2 2 2 2 2( ) ( ) 2( )f x a b x ac bd x c d? ? ? ? ? ?,則 22( ) ( ) ( )f x ax c bx d? ? ? ?≥ 0 恒成立 . ∴ 2 2 2 2 2[ 2 ( ) ] 4 ( ) ( )a c b d a b c d? ? ? ? ? ? ?≤ 0,即 … .. ③ 討論:二維形式的柯西不等式的一些變式? 變式: 2 2 2 2 ||a b c d ac bd? ? ? ? 或 2 2 2 2 | | | |a b c d a c b d? ? ? ? 或 2 2 2 2a b c d ac bd? ? ? ?. ④ 提出定理 2:設(shè) ,??是兩 個向量,則 | | | || |? ? ? ?? . 即柯西不等式的向量形式(由向量法提出 ) → 討論:上面時候等號成立?( ? 是零向量,或者 ,??共線) ⑤ 練習(xí):已知 a、 b、 c、 d為實數(shù),求證 2 2 2 2 2 2( ) ( )a b c d a c b d? ? ? ? ? ? ?. 證法:(分析法)平方 → 應(yīng)用柯西不等式 → 討論:其幾何意義?(構(gòu)造三角形) 2. 教學(xué)三角不等式: ① 出示定理 3:設(shè) 1 1 2 2, , ,x y x y R? ,則 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2( ) ( )x y x y x x y y? ? ? ? ? ? ?. 分析其幾何意義 → 如何利用柯西不等式證明 → 變式:若 1 1 2 2 3 3, , , , ,x y x y