新人教a版高中數學選修4-5用數學歸納法證明不等式2篇-文庫吧資料
2024-11-28 03:13本頁面
【正文】 需 n=k時， A（ k） ≥B(k)成立 ,然后有 A（ k+1）=A(k)+C(k)≥B(k)+C(k), 類題演練 2 在數列 {an}中， |an|2,且 an+1an2an+1+2an0, 求證： an n2? (n∈ N). 證明： ∵ |an|2, ∴ 2an2.∴ 2an0. 由題設 an+1(2an)2an,則 an+1nnaa?22 . 1176。2k2k2k2+2k+1=(k+1)2, 即 n=k+1時成立 . 由（ 1）、（ 2），知猜測正確 . 變式提升 1 求證： 1+ 212 13121 nn ????? ?. 證明：用數學歸納法 .當 n=1時，顯然不等式成立 . 根據歸納假設，當 n=k時，命題成立，即 1+ 212 13121 kk ????? ?.① 要證明 n=k+1時，命題也成立，即 1+ 2 112 112 12112 131211 ???????????? ? kkkkk ??.② 要用 ① 來證明 ② ,事實上，對不等式 ① 兩邊加上（ 12 112 1211 ????? ?kkk ?） ,就湊好了不等式 ② 的左邊 .接下來，只需證 12 112 1211 ????? ?kkk ?≥21 .③ ③ 式左邊共有 2k項，且 12 11??k最小，故 212212 212 112 121111 ????????? ??? kkkkkkk ?,這就證明了 ③ 式成立 . 綜上，知不等式成立 . 二、利用數學歸納法證明不等式的技巧（二） 【例 2】 已知 n是大于 1的自然數，求證： (1+31 )(1+51 )(1+71 )…(1+ 121?n ) 1221 ?n . 證明：假設 n=k(k≥2)時，原不等式成立，即（ 1+31 ） (1+51 )(1+71 )…(1+ 121?k ) 1221 ?k . 則當 n=k+1 時，左邊 =（ 1+ 31 ）（ 1+ 51 ）（ 1+ 71 ） … （ 1+ 121?k ） 用數學歸納法證明不等式 課前導引 情景導入 觀察下列式子： 1+23212 ?,1+ ,353121 22 ?? 47413121 222 ???,…
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