構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證明不等式-文庫(kù)吧資料
2024-10-26 21:14本頁(yè)面
【正文】 0 ∴2lgxlgy≤1 22lgx+lgy ∴ 1從而要使原不等式對(duì)于大于1的任意x與y恒成立，只需Lga≥2即 a≥102即可。[分析]此例即證a的存在性，可先分離參數(shù)，視參數(shù)為變?cè)暮瘮?shù)，然后根據(jù)變?cè)瘮?shù)的值域來(lái)求解a，從而說(shuō)明常數(shù)a的存在性。另證：類(lèi)比萬(wàn)能公式中的正弦公式構(gòu)造三角函數(shù)更簡(jiǎn)單。聯(lián)想到函數(shù)的值域，于是構(gòu)造函數(shù)f（x）= x11，從而只需證明f(x)的值域?yàn)閇—，]即可。[證明]令 f（x）=x，可證得f（x）在[0，∞)上是增函數(shù)（證略）1+x 而 0得 f（∣a+b∣）≤ f（∣a∣+∣b∣）即： a+b1+a+b≤a+b1+a+b[說(shuō)明]要證明函數(shù)f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)，若用定義來(lái)證明，則證明過(guò)程是用比較法證明f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系；反過(guò)來(lái)，證明不等式又可以利用函數(shù)的單調(diào)性。a+x+，其中x∈R，0b+xb+x證明：令 f（x）= ∵ba0 ba+ 在R上為減函數(shù) b+xba+從而f（x）= 在R上為增函數(shù)b+x∴y= ∵m0 ∴f（m） f（0）∴a+ma b+mb例求證：a+b1+a+b≤a+b1+a+b（a、b∈R）[分析]本題若直接運(yùn)用比較法或放縮法，很難尋其線索。0（當(dāng)且僅當(dāng)a=,b=,c=時(shí)取等號(hào)），632149得⊿≤0,即⊿＝1444（++）≤0abc111149∴當(dāng)a=,b=,c=時(shí)，(++)min=36 632abc構(gòu)造函數(shù)證明不等式利用函數(shù)的單調(diào)性+例巳知a、b、c∈R，且a b+mb[分析]本題可以用比較法、分析法等多種方法證明。R+且a+b+c=1，求解析：構(gòu)造函數(shù)f(x)=(＝(1axa)2+(149++的最小值。0.∴4a+1+4b+1+4c+1+4d+1163。解析：構(gòu)造函數(shù)：f(x)=(4a+1x1)2+(4b+1x1)2+(4c+1x1)2+(4d+1x1)2＝8x22(4a+1+4b+1+4c+1+4d+1)x+4.(Qa+b+c+d=1)由f(x)179。,b,c,d206。3② 構(gòu)造函數(shù)逆用判別式證明不等式對(duì)某些不等式證明，若能根據(jù)其條件和結(jié)論，結(jié)合判別式的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)構(gòu)造二項(xiàng)平方和函數(shù)：f(x)=(a1xb1)2+(a2xb2)2+K+(anxbn)2由f(x)179。30,同理可求得a,c206。233。0，即：0163。2 消去c得：此方程恒成立，a+(b2)a+b2b+1=0，22238。236。235。234。：a,b,c206。0恒成立。解析：令f(a)=a2+(3b+c)a+c2+3b2+3bc⊿＝(3b+c)24(c2+3b2+3bc)=3(b+c)2 ∵b、c∈R，∴⊿≤0 即：f(a)179。：a、b、c∈R，證明：a2+ac+c2+3b(a+b+c)179。 af(b)≤bf(a)故選（A）ab第四篇：構(gòu)造函數(shù)證明不等式在含有兩個(gè)或兩個(gè)以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解決，可將一邊整理為零，而另一邊為某個(gè)字母的二次式，這時(shí)可考慮用判別式法。02xxx有f(a)f(b)179。(x)f(x)F(x)=提示：F(x)=，F(xiàn)162。f(0)=0,從而ln(1+x)179。1 令1+x=0,則1bx+1abab因此lnalnb179。)上為增函數(shù)因此在x=0時(shí),f(x)取得極小值f(0)=0，而且是最小值x1，即ln(1+x)179。(x)0，即f(x)在x206。(x)0，即f(x)在x206。)，f162。0，即f(x)179。)上為增函數(shù)，于是函數(shù)F(x)在(0,+165。(x)=x+2a2x(xa)(x+3a)=(x0)Qa0，∴ 當(dāng)x=a時(shí)，F(xiàn)162。(x)0，即f(x)在(0,+165。(x)=1 ∴（B）bf(a)≤af(b)（D）bf(b)≤f(a)2lnx2a2lnx+1，當(dāng)x1，a179。+xaf(x)是定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿(mǎn)足xf162。0,f(x)=x1ln2x+2alnx 求證：當(dāng)x1時(shí)，恒有xlnx2alnx+1已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)=52122x+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a0，且b=a3alna，22求證：f(x)179。)(a)=0,ba,所以G(b)0,即g(a)+g(b)2g（構(gòu)造二階導(dǎo)數(shù)函數(shù)證明導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性 例．已知函數(shù)f(x)=aexa+b)(ba) 2(1)若f(x)在R上為增函數(shù),求a的取值范圍。(x)=lnxlna+b)+xln2=lnxln(a+x).239。 當(dāng)xa時(shí),F(x)0,因此F(x)在(a,+165。(x)2[g(22239。a+xa+x.)]=lnx
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1