【正文】 n1+n(*)nn[(1+n)1]1+2+1n1n1+111++L+23nn 34n+1++L+23nn2+3+4+L+n+1=nn+ \（*）式成立，1111+++L+n(n1)nn123n1 219。Qn，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=L=: 令bi=ai,(i=1,2,L,n)則b1b2Lbn=1，故可取x1,x2,Lxn0，使得 Gnb1=xxx1x,b2=2,L,bn1=n1,bn=n由排序不等式有： x2x3xnx1b1+b2+L+bn=xx1x2++L+n（亂序和）x2x3x1111+x2+L+xn（逆序和）x1x2xn 179。（2）基本不等式有各種變式如(，：不等式左邊是a、b的4次式，+b179。ab+ba，a3+b3+c3179。c,則a179。則a2+b2+c2（亂序和）cbacab111111179。a2b+b2c+c2a219。L163。c179。：（1）證明對(duì)稱不等式時(shí)，不妨假定n個(gè)字母的大小順序，可方便解題.（2）本題可作如下推廣：若ai0(i=1,2,L,n),則a11a22Lanaaan179。評(píng)述：（1）本題所證不等式為對(duì)稱式（任意互換兩個(gè)字母，不等式不變），在因式分解或配方時(shí)，+b2+c2179。An8．證明：對(duì)于任意正整數(shù)R，有(1+1n1n+1)(1+).nn+11119．n為正整數(shù)，證明：n[(1+n)1]1+++L+n(n1)1n 課后練習(xí)(1)方程xy=105的正整數(shù)解有().（A）一組（B）二組（C）三組（D）四組(2)在0,1,2,?，50這51個(gè)整數(shù)中，能同時(shí)被2，3，4整除的有（）.（A）3個(gè)（B）4個(gè)（C）5個(gè)（D）6個(gè) 2．填空題（1）5422(2)?A?10的整數(shù)A的個(gè)數(shù)是x10+1，則x的值(3)已知整數(shù)y被7除余數(shù)為5,那么y被7除時(shí)余數(shù)為_(kāi)_______.(4)求出任何一組滿足方程x51y=、y、z滿足．在數(shù)列4，8，17，77，97，106，125，238中相鄰若干個(gè)數(shù)之和是3的倍數(shù)，而不是9的倍數(shù)的數(shù)組共有多少組？5．．．求滿足條件的整數(shù)x，．已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為l厘米、m厘米，斜邊長(zhǎng)為n厘米，且l，m，n均為正整數(shù)，：2（l+m+n）、q、都是整數(shù)，并且p＞1，q＞1，試求p+.(1)9及1.(2)9.(3)4.(4)原方程可變形為x=(7y+1)+2y(y7),令y=7可得x=?y?z,則,故x??=2,則,故y?,故y?=4,則z==5,則z==6,=3,類似可以確定3?y?4,y=3或4,：左邊三項(xiàng)直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對(duì)稱性，可用輪換的方法.．．略解：a2+b2179。++.3．：a,b,c206。a或x163。a2219。anbn,nanb(n206。b219。（三）解答題1已知a0，b0，a≠b，求證：a+1已知a，b，c是三角形三邊的長(zhǎng)，求 證：1中天教育咨詢電話：04768705333第5頁(yè)/共9頁(yè)ab+c+ba+c+ca+b2?！?f(1)=a+b+c，f(1)=ab+c ∴ b=12[f(1)f(1)] 12|f(1)f(1)|≤12[|f(1)|+|f(1)|]≤12(1+1)≤1 ∴ |b|=（2）思路一：利用函數(shù)思想，借助于單調(diào)性求g(x)=ax+b的值域?！纠?】 已知a，b，c∈R，f(x)=ax2+bx+c，當(dāng)|x|≤1時(shí)，有|f(x)|≤1，求證：（1）|c|≤1，|b|≤1；（2）當(dāng)|x|≤1時(shí)，|ax+b|≤2。239。故考慮用分析法證明，即執(zhí)果索因，尋找使不等式成立的必要條件?！纠?】 x，y為正實(shí)數(shù)，x+y=a，求證：x+y≥2a22。左=12(2a4+2b224+2c)=22412[(a24+b)+(b22244+c)+(c2244+a)]24≥12(2ab+2bc+2ca)=ab+bc+ca2發(fā)現(xiàn)縮小后沒(méi)有達(dá)到題目要求，此時(shí)應(yīng)再利用不等式傳遞性繼續(xù)縮小，處理的方法與剛才類似。因A、B的表達(dá)形式比較簡(jiǎn)單，故作差后如何對(duì)因式進(jìn)行變形是本題難點(diǎn)之一。3+11180。(Ⅰ)解不等式f(x)+f(x+4)179。1的解集。x2y+xy2；（2+對(duì)滿足x+y+z=1的一切正實(shí)數(shù) x,y,z恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.165。注意：在不等式的證明中運(yùn)用換元法，能把高次變?yōu)榈痛?，分式變?yōu)檎?，無(wú)理式變?yōu)橛欣硎?，能?jiǎn)化證明過(guò)程。證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法。一、不等式的初等證明方法：由因?qū)Ч３Ｓ玫募记捎校荷崛ヒ恍┱?xiàng)或負(fù)項(xiàng)；在和或積中換大（或換?。┠承╉?xiàng)；擴(kuò)大（或縮?。┓质降姆肿樱ɑ蚍帜福┑?，放縮時(shí)要注意不等號(hào)的一致性。要證A0)，只要證②證明步驟：作商→變形→判斷與1的關(guān)系 常用變形方法：一是配方法，二是分解因式：所謂綜合法，就是從題設(shè)條件和已經(jīng)證明過(guò)的基本不等式和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，可簡(jiǎn)稱為由因?qū)Ч?。第一篇：不等式證明不等式證明：比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它可分為作差法、作商法（1）作差比較：①理論依據(jù)ab0ab。常見(jiàn)的基本不等式有 ｜a｜≥0, a2+b2179。放縮法的方法有：⑴添加或舍去一些項(xiàng)，如：a2+1a；n(n+1)n ⑵將分子或分母放大（或縮?。抢没静坏仁?，如：lg3lg5(n+(n+1)2⑷利用常用結(jié)論： n(n+1)lg3+lg5)=lg15lg16=lg4 2Ⅰ、k+1k=1k+1+k12k；Ⅱ、1111； =k2k(k1)k1k1111（程度大）=2k(k+1)kk+1kⅢ、12k11111==()；（程度?。?k1(k1)(k+1)2k1k+17 換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。：執(zhí)果索因。：數(shù)學(xué)歸納法證明不等式在數(shù)學(xué)歸納法中專門(mén)研究。尤其對(duì)含有若干個(gè)變?cè)凝R次輪換式或輪換對(duì)稱式的不等式，通過(guò)換元變換形式以揭示內(nèi)容的實(shí)質(zhì)，可收到事半功倍之效。,1綜合法證