【正文】 n1+n(*)nn[(1+n)1]1+2+1n1n1+111++L+23nn 34n+1++L+23nn2+3+4+L+n+1=nn+ \（*）式成立，1111+++L+n(n1)nn123n1 219。Qn，其中等號當且僅當a1=a2=L=: 令bi=ai,(i=1,2,L,n)則b1b2Lbn=1，故可取x1,x2,Lxn0，使得 Gnb1=xxx1x,b2=2,L,bn1=n1,bn=n由排序不等式有： x2x3xnx1b1+b2+L+bn=xx1x2++L+n（亂序和）x2x3x1111+x2+L+xn（逆序和）x1x2xn 179。（2）基本不等式有各種變式如(，：不等式左邊是a、b的4次式，+b179。ab+ba，a3+b3+c3179。c,則a179。則a2+b2+c2（亂序和）cbacab111111179。a2b+b2c+c2a219。L163。c179。：（1）證明對稱不等式時，不妨假定n個字母的大小順序，可方便解題.（2）本題可作如下推廣：若ai0(i=1,2,L,n),則a11a22Lanaaan179。評述：（1）本題所證不等式為對稱式（任意互換兩個字母，不等式不變），在因式分解或配方時，+b2+c2179。An8．證明：對于任意正整數(shù)R，有(1+1n1n+1)(1+).nn+11119．n為正整數(shù)，證明：n[(1+n)1]1+++L+n(n1)1n 課后練習(1)方程xy=105的正整數(shù)解有().（A）一組（B）二組（C）三組（D）四組(2)在0,1,2,?，50這51個整數(shù)中，能同時被2，3，4整除的有（）.（A）3個（B）4個（C）5個（D）6個 2．填空題（1）5422(2)?A?10的整數(shù)A的個數(shù)是x10+1，則x的值(3)已知整數(shù)y被7除余數(shù)為5,那么y被7除時余數(shù)為________.(4)求出任何一組滿足方程x51y=、y、z滿足．在數(shù)列4，8，17，77，97，106，125，238中相鄰若干個數(shù)之和是3的倍數(shù)，而不是9的倍數(shù)的數(shù)組共有多少組？5．．．求滿足條件的整數(shù)x，．已知直角三角形的兩直角邊長分別為l厘米、m厘米，斜邊長為n厘米，且l，m，n均為正整數(shù)，：2（l+m+n）、q、都是整數(shù)，并且p＞1，q＞1，試求p+.(1)9及1.(2)9.(3)4.(4)原方程可變形為x=(7y+1)+2y(y7),令y=7可得x=?y?z,則,故x??=2,則,故y?,故y?=4,則z==5,則z==6,=3,類似可以確定3?y?4,y=3或4,：左邊三項直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對稱性，可用輪換的方法.．．略解：a2+b2179。++.3．：a,b,c206。a或x163。a2219。anbn,nanb(n206。b219。（三）解答題1已知a0，b0，a≠b，求證：a+1已知a，b，c是三角形三邊的長，求 證：1中天教育咨詢電話：04768705333第5頁/共9頁ab+c+ba+c+ca+b2。∵ f(1)=a+b+c，f(1)=ab+c ∴ b=12[f(1)f(1)] 12|f(1)f(1)|≤12[|f(1)|+|f(1)|]≤12(1+1)≤1 ∴ |b|=（2）思路一：利用函數(shù)思想，借助于單調性求g(x)=ax+b的值域。【例9】 已知a，b，c∈R，f(x)=ax2+bx+c，當|x|≤1時，有|f(x)|≤1，求證：（1）|c|≤1，|b|≤1；（2）當|x|≤1時，|ax+b|≤2。239。故考慮用分析法證明，即執(zhí)果索因，尋找使不等式成立的必要條件?！纠?】 x，y為正實數(shù)，x+y=a，求證：x+y≥2a22。左=12(2a4+2b224+2c)=22412[(a24+b)+(b22244+c)+(c2244+a)]24≥12(2ab+2bc+2ca)=ab+bc+ca2發(fā)現(xiàn)縮小后沒有達到題目要求，此時應再利用不等式傳遞性繼續(xù)縮小，處理的方法與剛才類似。因A、B的表達形式比較簡單，故作差后如何對因式進行變形是本題難點之一。3+11180。(Ⅰ)解不等式f(x)+f(x+4)179。1的解集。x2y+xy2；（2+對滿足x+y+z=1的一切正實數(shù) x,y,z恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.165。注意：在不等式的證明中運用換元法，能把高次變?yōu)榈痛?，分式變?yōu)檎?，無理式變?yōu)橛欣硎?，能簡化證明過程。證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學歸納法仍是證明不等式的最基本方法。一、不等式的初等證明方法：由因導果。常用的技巧有：舍去一些正項或負項；在和或積中換大（或換?。┠承╉?；擴大（或縮小）分式的分子（或分母）等，放縮時要注意不等號的一致性。要證A0)，只要證②證明步驟：作商→變形→判斷與1的關系 常用變形方法：一是配方法，二是分解因式：所謂綜合法，就是從題設條件和已經證明過的基本不等式和不等式的性質推導出所要證明的不等式成立，可簡稱為由因導果。第一篇：不等式證明不等式證明：比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它可分為作差法、作商法（1）作差比較：①理論依據(jù)ab0ab。常見的基本不等式有 ｜a｜≥0, a2+b2179。放縮法的方法有：⑴添加或舍去一些項，如：a2+1a；n(n+1)n ⑵將分子或分母放大（或縮?。抢没静坏仁?，如：lg3lg5(n+(n+1)2⑷利用常用結論： n(n+1)lg3+lg5)=lg15lg16=lg4 2Ⅰ、k+1k=1k+1+k12k；Ⅱ、1111； =k2k(k1)k1k1111（程度大）=2k(k+1)kk+1kⅢ、12k11111==()；（程度小）2k1(k1)(k+1)2k1k+17 換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。：執(zhí)果索因。：數(shù)學歸納法證明不等式在數(shù)學歸納法中專門研究。尤其對含有若干個變元的齊次輪換式或輪換對稱式的不等式，通過換元變換形式以揭示內容的實質，可收到事半功倍之效。,1綜合法證