導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的綜合證明問題-在線瀏覽
2024-10-28 18:52本頁面
【正文】 n180。N*).(x)=(x)=xalnx(a0)(1)若a=1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間及f(x)的最小值。ln22ln32lnn2(n1)(2n+1)(3)試比較2+2+...+2與n179。N*)的大小,并證明? (23n2(n+1)(x)=lnx,g(x)=x+a(a206。1時,f(x)163。2,n206。(2)設(shè)an=1+{an}滿足a1=1,an+1=lnan+an+2,n206。ln(n+1)+2n (n206。(x)=11/(x+1)=x/(x+1)x1,所以f39。本文就談?wù)剬?dǎo)數(shù)在一元不等式中的應(yīng)用。6S21n2n：本題給出數(shù)列相鄰兩項的遞推關(guān)系，且要對n分奇偶性。N*)時，a2k1)p2k+1=[1+cos(22]a+sin22k12k12p ＝a2k1+1，即a2k+1a2k1={a2k1}是首項為公差為1的等差數(shù)列，因此a2k1==2k(k206。n+1n}的通項公式為an=237。N*),239。22,n=2k(k206。6時，S1n(n+2)n2n成立，只需證明當(dāng)n179。(6+2)26=4864=341成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k179。3)2k(k+2)(k+1)(k+3)(k+2)g2k(1)、(2)所述，當(dāng)n≥6時，n(n+1)22≥6時，Sn21n.證法二令(n+2)n=22(n179。6時，c6180。6時，163。6時，n(n+2)22，當(dāng)n179。，且tana=21，函數(shù)f(x)=x2tan2a+xsin(2a+p4)，數(shù)列{an}的首項a1=2,an+1=f(an).(1)求函數(shù)f(x)的表達式；⑵ 求證：an+1an；⑶ 求證：111+a+1+L+12(n179。N*)11+a21+an分析：本題是借助函數(shù)給出遞推關(guān)系，第（2）問的不等式利用了函數(shù)的性質(zhì)，第（3）問是轉(zhuǎn)化成可以裂項的形式，這是證明數(shù)列中的不等式的另一種出路。⑶1an+1=1111==2an+anan(1+an)an1+an111=1+ananan+1(x)=xln(1+x),數(shù)列{an}滿足0a11,∴111111111111++L+=++L+==2an+1=f(an)。(n+1)bn, n206。2an+1an∴an+1179。{aa*n}滿足a1=1,n+1=2an+1(n206。N*a) 23an+13分析：本例（1）通過把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列；第（2）關(guān)鍵在于找出連續(xù)三項間的關(guān)系；第（3）問關(guān)鍵在如何放縮 解：（1）Qan+1=2an+1，\an+1+1=2(an+1)故數(shù)列{an+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列。n+12。解：(Ⅰ)先用數(shù)學(xué)歸納法證明0an1,n206。（2）假設(shè)當(dāng)n=k時,結(jié)論成立,即0ak=k+1時,因為01x+1=xx+10,所以f(x)在(0,1)(x)在[0,1]上連續(xù),所以f(0)1, 得an+1an=anln(1+an)an=ln(1+an)0,從而an+1an+1an1.(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)g(x)=x2x2x2f(x)=+ln(1+x)x, 0g(0)=aa2nn1,所以g(an)0,即2f(aa2nn)0,從而an+12.(Ⅲ)因為b12b1bn+11=,n+1179。n,所以bba2nbn1bnn=bL2b11179。(x)=5+2x168x，設(shè)正項數(shù)列{an}滿足a1=l，an+1=f(an)．(1)試比較a5n與4的大小，并說明理由；(2)設(shè)數(shù)列{b5nnn}滿足bn=4－an，記Sn=229。解：(1)a2ann+1=5+168a，因為a所以a731=1,2=,a3=4.（2）因為an0,an+10,所以168an0,0an+2a48(a55n5nn+1)3an554=168a4=32(2a=,因為2an0,所以an+1與a同號，nn)22an4n4因為a514=140，a5555240,a340,?，an40,即an4.（3）當(dāng)n179。231。232。248。{a*n}中，a1=1，nan+1=2(a1+a2+...+an)(n206。k)k分析：條件中有類似于前n項和的形式出現(xiàn)，提示我們應(yīng)該考慮an＝Sn－Sn－1(n≥2)解：（1）a2=2,a3=3,a4=4（2）nan+1=2(a1+a2+...+an)①(n1)an=2(a1+a2+...+an1)②①—②得nan+1(n1)an=2an即：nan+1=(n+1)a+1n+1aa3ann，ana=所以aa223nn=1a...=1...1=n(n179。N)（3）由（2）得：b1=12,b12n+1=kbn+bnbnbn1...b10，所以{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列，故要證：bn1(n163。若k179。k)點評：與數(shù)列相關(guān)的不等式證明通常需要“放縮”，而放縮的“度”尤為關(guān)鍵，本題中1b=(11)+...+(11)+1,12+13+L+1n1[log2n],其中n為不大于2的整數(shù)，[log2n]表示不超過log2n的最大整數(shù)。n+a(n=2,3,4L)，證明：n1an2b2+b[log，n=3,4,5L2n]分析：由條件an111111n163。+1\nan1na179。2)nan111a179。1以上各式兩邊分別相加得： 2a121a1179。1+1+1+L+11+1[log2n](n179。3)2本題由題設(shè)條件直接進行放縮，然后求和，命題即得以證明。1（1）寫出數(shù)列{an}的前三項a1，a2，a5；（2）求數(shù)列{an}的通項公式；（3）證明：對任意的整數(shù)m4，有1117a++L+4a5am8分析：⑴由遞推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2； ⑵由已知得：an=SnSn1=2an+(
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