專題08含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題解題規(guī)律(編輯修改稿)
2025-04-20 05:51 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ： 設(shè)，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以最大值是，綜上，由①②得： ..（）若函數(shù)在上單調(diào)，求實數(shù)的最大值；（）當(dāng)時，若存在不等的使得，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（）；（）.【解析】 ()先根據(jù)切線的斜率求出，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)，得到恒成立，求出的最大值.()轉(zhuǎn)化為存在不等的，且使得，進而得到＞.【詳解】（）函數(shù)在處的切線斜率為解得.所以，故因為函數(shù)在上單調(diào)故或在上恒成立.顯然即在上不恒成立.所以恒成立即可.因為可知在上單減，單增故，所以實數(shù)的最大值為.（）當(dāng)時，由（）知函數(shù)在上單調(diào)遞增不妨設(shè)，使得即為存在不等的，且使得.其否定為：任意，都有即：函數(shù)在上單調(diào)遞增.由（）知：即所以若存在不等的使得實數(shù)的取值范圍為.（七）討論參數(shù)求參數(shù)例．已知函數(shù)，（為自然對數(shù)的底數(shù)）．（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)在點處的切線方程；（Ⅱ）若函數(shù)有兩個零點，試求的取值范圍；（Ⅲ）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】() () （）【解析】試題分析：（）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到， ，根據(jù)這兩點可以寫出切線方程。（）對函數(shù)進行單調(diào)性的研究，分， ， ,三種情況討論單調(diào)性，研究函數(shù)的圖像變換趨勢，得到參數(shù)方位。（）原不等式等價于恒成立，對右側(cè)函數(shù)研究單調(diào)性得最值即可。解析：（Ⅰ）當(dāng)時，.， .所以函數(shù)在點處的切線方程為.（Ⅱ）函數(shù)的定義域為，由已知得.①當(dāng)時，函數(shù)只有一個零點；②當(dāng)，因為，當(dāng)時， ；當(dāng)時， .所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. 又， ，因為，所以， 所以，所以取，顯然且所以，.由零點存在性定理及函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)有兩個零點.③當(dāng)時，由，得，或.當(dāng)， ， 變化情況如下表：注意到，所以函數(shù)至多有一個零點，不符合題意.當(dāng)，則， 在單調(diào)遞增，函數(shù)至多有一個零點，不符合題意.若， ， 變化情況如下表：注意到當(dāng)， 時， ，所以函數(shù)至多有一個零點，不符合題意.綜上， 的取值范圍是.（Ⅲ）當(dāng)時，即,令，則令，則 當(dāng)時， ， 單調(diào)遞減；當(dāng)時， ， 單調(diào)遞增 又， ，所以，當(dāng)時， ，即，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時，即，所以單調(diào)遞增，所以，所以．點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分離參數(shù)法的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，分類討論的能力，屬于較難的題．利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略() ，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進而證明不等式.（）根據(jù)條件，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).， ．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若對所有的，都有，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） .【解析】試題分析：（Ⅰ）令，求導(dǎo)得單調(diào)性，進而得，從而得證；（Ⅱ）記求兩次導(dǎo)得在遞增， 又，進而討論的正負，從而得原函數(shù)的單調(diào)性，進而可求最值.試題解析：（Ⅰ）令， 由 ∴在遞減，在遞增，∴ ∴ 即成立． （Ⅱ） 記， ∴在恒成立， ∵， ∴在遞增， 又， ∴ ① 當(dāng) 時， 成立， 即在遞增，則，即成立； ② 當(dāng)時，∵在遞增，且，∴ 必存在使得．則時， ，即 時，與在恒成立矛盾，故舍去．綜上，實數(shù)的取值范圍是．點睛：導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會遇見恒成立的問題：（）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（）若 就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為 ，若恒成立；（）若 恒成立，可轉(zhuǎn)化為 .（八）利用特值縮小范圍，其中為實常數(shù)，曲線在點處的切線的縱
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