有關(guān)用導(dǎo)數(shù)處理的數(shù)列型不等式集錦(編輯修改稿)
2024-07-22 03:10 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ,所以 .所以,又由(1)得,所以,…….相加,得,故不等式成立.點評:本題是一道改編題,是歷年高考命題的常見策略.；對對都成立，證明（無理數(shù)）（05年遼寧卷第22題）解析 結(jié)合第問結(jié)論及所給題設(shè)條件（）的結(jié)構(gòu)特征，可得放縮思路：。于是， 即注：題目所給條件（）為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當(dāng)然，本題還可用結(jié)論來放縮： ，即17．已知數(shù)列滿足，且。（I）求數(shù)列{an}的通項公式；（II）證明：對于一切正整數(shù)n，不等式恒成立。解：（I）顯然，由可得，即，也即，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，從而有，即。 ① 證明：（II）由①得，所以有，為證，只需證。 ② ∵ ，猜想有。 ③ 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時，③ 式顯然成立；假設(shè)當(dāng)時，③ 式成立，即。那么當(dāng)時，上式表明當(dāng)時，③ 式也成立。由、可知對一切，③ 式都成立。利用③ 式得，故②式成立，從而結(jié)論成立。18. 已知函數(shù),數(shù)列滿足, 。 數(shù)列滿足, .求證:（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）若則當(dāng)n≥2時,.解: (Ⅰ)先用數(shù)學(xué)歸納法證明,. （1）當(dāng)n=1時,由已知得結(jié)論成立。 （2）假設(shè)當(dāng)n=k時,結(jié)論成立,=k+1時, 因為0x1時,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù). 又f(x)在上連續(xù),所以f(0)f()f(1),即0. 故當(dāng)n=k+1時,結(jié)論也成立. 即對于一切正整數(shù)都成立.————4分 又由, 得,從而. 綜上可知————6分 (Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)= , 0x1, 由,知g(x)在(0,1)上增函數(shù). 又g(x)在上連續(xù),所以g(x)g(0)=0. 因為,所以,即0,從而————10分 (Ⅲ) 因為 ,所以, , 所以 ————① , ————12分 由(Ⅱ)知:, 所以= , 因為, n≥2, 所以 =————② . ————14分 由①② 兩式可知: .————16分19．已知等比數(shù)列中，. (1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，證
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