構(gòu)造函數(shù)證明數(shù)列不等式(編輯修改稿)
2024-10-31 14:50 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 b).第三篇：構(gòu)造函數(shù)證明不等式在含有兩個(gè)或兩個(gè)以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解決，可將一邊整理為零，而另一邊為某個(gè)字母的二次式，這時(shí)可考慮用判別式法。一般對(duì)與一元二次函數(shù)有關(guān)或能通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化為一元二次方程的，都可考慮使用判別式，但使用時(shí)要注意根的取值范圍和題目本身?xiàng)l件的限制。：a、b、c∈R，證明：a2+ac+c2+3b(a+b+c)179。0成立，并指出等號(hào)何時(shí)成立。解析：令f(a)=a2+(3b+c)a+c2+3b2+3bc⊿＝(3b+c)24(c2+3b2+3bc)=3(b+c)2 ∵b、c∈R，∴⊿≤0 即：f(a)179。0，∴a2+ac+c2+3b(a+b+c)179。0恒成立。當(dāng)⊿＝0時(shí)，b+c=0，此時(shí)，f(a)=a2+ac+c2+3ab=(ac)2=0，∴a=b=c時(shí)，不等式取等號(hào)。：a,b,c206。R且a+b+c=2,a2+b2+c2=2，求證： a,b,c206。234。0,235。3236。a+b+c=222解析：237。2 消去c得：此方程恒成立，a+(b2)a+b2b+1=0，22238。a+b+c=2∴⊿＝(b2)24(b22b+1)=3b2+4b179。0，即：0163。b163。233。4249。同理可求得a,c206。234。0,235。34。3② 構(gòu)造函數(shù)逆用判別式證明不等式對(duì)某些不等式證明，若能根據(jù)其條件和結(jié)論，結(jié)合判別式的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)構(gòu)造二項(xiàng)平方和函數(shù)：f(x)=(a1xb1)2+(a2xb2)2+K+(anxbn)2由f(x)179。0，得⊿≤0，就可以使一些用一般方法處理較繁瑣的問(wèn)題，獲得簡(jiǎn)捷明快的證明。,b,c,d206。R+且a+b+c+d=1，求證：4a+1+4b+1+4c+1+4d+1﹤6。解析：構(gòu)造函數(shù)：f(x)=(4a+1x1)2+(4b+1x1)2+(4c+1x1)2+(4d+1x1)2＝8x22(4a+1+4b+1+4c+1+4d+1)x+4.(Qa+b+c+d=1)由f(x)179。0，得⊿≤0，即⊿＝4(4a+1+4b+1+4c+1+4d+1)2128163。0.∴4a+1+4b+1+4c+1+4d+1163。42﹤,b,c,d206。R+且a+b+c=1，求解析：構(gòu)造函數(shù)f(x)=(＝(1axa)2+(149++的最小值。abc2bxb)2+(3cxc)21492++)x12x+1,(Qa+b+c=1)abc111由f(x)179。0（當(dāng)且僅當(dāng)a=,b=,c=時(shí)取等號(hào)），632149得⊿≤0,即⊿＝1444（++）≤0abc111149∴當(dāng)a=,b=,c=時(shí)，(++)min=36 632abc構(gòu)造函數(shù)證明不等式利用函數(shù)的單調(diào)性+例巳知a、b、c∈R，且a b+mb[分析]本題可以用比較法、分析法等多種方法證明。若采用函數(shù)思想，構(gòu)造出與所證不等式密切相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較函數(shù)值而證之，思路則更為清新。a+x+，其中x∈R，0b+xb+x證明：令 f（x）= ∵ba0 ba+ 在R上為減函數(shù) b+xba+從而f（x）= 在R上為增函數(shù)b+x∴y= ∵m0 ∴f（m） f（0）∴a+ma b+mb例求證：a+b1+a+b≤a+b1+a+b（a、b∈R）[分析]本題若直接運(yùn)用比較法或放縮法，很難尋其線(xiàn)索。若考慮構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性證明，問(wèn)題將迎刃而解。[證明]令 f（x）=x，可證得f（x）在[0，∞)上是增函數(shù)（證略）1+x 而 0得 f（∣a+b∣）≤ f（∣a∣+∣b∣）即： a+b1+a+b≤a+b1+a+b[說(shuō)明]要證明函數(shù)f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)，若用定義來(lái)證明，則證明過(guò)程是用比較法證明f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系；反過(guò)來(lái)，證明不等式又可以利用函數(shù)的單調(diào)性。利用函數(shù)的值域例若x為任意實(shí)數(shù)，求證：—x11≤≤ 221+x2[分析]本題可以直接使用分析法或比較法證明，但過(guò)程較繁。聯(lián)想到函數(shù)的值域，于是構(gòu)造函數(shù)f（x）= x11，從而只需證明f(x)的值域?yàn)閇—，]即可。1+x222x2證明：設(shè) y=，則yxx+y=0 21+x ∵x為任意實(shí)數(shù) ∴上式中Δ≥0，即（1）4y≥0 1 411得：—≤y≤22x11 ∴—≤≤21+x22 ∴y≤2[說(shuō)明]應(yīng)用判別式說(shuō)明不等式，應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域。另證：類(lèi)比萬(wàn)能公式中的正弦公式構(gòu)造三角函數(shù)更簡(jiǎn)單。例求證：必存在常數(shù)a，使得Lg（xy）≤ +lg2y對(duì)大于1的任意x與y恒成立。[分析]此例即證a的存在性，可先分離參數(shù)，視參數(shù)為變?cè)暮瘮?shù)，然后根據(jù)變?cè)瘮?shù)的值域來(lái)求解a，從而說(shuō)明常數(shù)a的存在性。若s≥f(t)恒成立，則s的最小值為f(t)的最大值；若 s≤f(t)恒成立，則s的最大值為f(t)的最小值。22證明：∵lgx+lgy 0(x1,y1)∴原不等式可變形為：Lga≥lgx+lgylgx+lgy222（lgx+lgy）2lgxlgy 令 f(x)= == 1+222222lgx+lgylgx+lgylgx+lgylgx+lgy 而 lgx0,lgy0, ∴l(xiāng)gx+lgy ≥ 2lgxlgy 0 ∴2lgxlgy≤1 22lgx+lgy ∴ 1從而要使原不等式對(duì)于大于1的任意x與y恒成立，只需Lga≥2即 a≥102即
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