有關用導數(shù)處理的數(shù)列型不等式集錦(參考版)
2025-06-28 03:10本頁面
【正文】 (x)＞0， h 39。(x)＝， h 39。 （2）假設當n=k時,結論成立,=k+1時, 因為0x1時,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù). 又f(x)在上連續(xù),所以f(0)f()f(1),即0. 故當n=k+1時,結論也成立. 即對于一切正整數(shù)都成立.————4分 又由, 得,從而. 綜上可知————6分 (Ⅱ)構造函數(shù)g(x)=f(x)= , 0x1, 由,知g(x)在(0,1)上增函數(shù). 又g(x)在上連續(xù),所以g(x)g(0)=0. 因為,所以,即0,從而————10分 (Ⅲ) 因為 ,所以, , 所以 ————① , ————12分 由(Ⅱ)知:, 所以= , 因為, n≥2, 所以 =————② . ————14分 由①② 兩式可知: .————16分19．已知等比數(shù)列中，. (1)求數(shù)列的通項公式；(2)設數(shù)列的前n項和為，證明；(3)設，證明：對任意的正整數(shù)，均有.【解析】(1)∵.∴是以為首項，為公差的等差數(shù)列. ∴，所以. （2）設，則. 故，所以. 所以，所以. 所以，∴. （3）因為，所以. 當時，即；當時，并且，所以. 所以對任意的正整數(shù)，均有的最大值為，所以對任意的正整數(shù)，均有.，若存在，使成立，、且.（Ⅰ）試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）已知各項不為1的數(shù)列滿足，求證：；（Ⅲ）在（2）中，設，為數(shù)列的前項和，求證：.解：（1）設 ∴ ………………………1分∴ 由 又∵ ∴ ∴ …… 3分 于是 由得或； 由得或 故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，……4分單調(diào)減區(qū)間為和 ……5分（2）由已知可得， 當時， 兩式相減得∴或……6分當時，若，則這與矛盾∴ ∴ ……7分于是，待證不等式即為.為此，我們考慮證明不等式令則，再令，
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