有關(guān)用導(dǎo)數(shù)處理的數(shù)列型不等式集錦-展示頁
2025-07-04 03:10本頁面
【正文】 所以有,所以綜上有::構(gòu)造函數(shù)后即可證明: 解析:,疊加之后就可以得到答案 函數(shù)構(gòu)造形式:(加強命題): 解析:構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo),可以得到: ,令有,令有, 所以,所以,令有, 所以,所以，為其前項和，對于任意，總有成等差數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式；(Ⅱ)設(shè)數(shù)列的前項和為 ，且，求證:對任意實數(shù)（是常數(shù)，＝）和任意正整數(shù)，總有 2；(Ⅲ) 正數(shù)數(shù)列中，.求數(shù)列中的最大項. （Ⅰ）解：由已知：對于，總有 ①成立∴ （n ≥ 2）② ①②得∴∵均為正數(shù)，∴ （n ≥ 2） ∴數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列 又n=1時， 解得=1∴.() （Ⅱ）證明：∵對任意實數(shù)和任意正整數(shù)n，總有≤. ∴ (Ⅲ)解：由已知 ， 易得 猜想 n≥2 時，是遞減數(shù)列. 令∵當(dāng)∴在內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù).由.∴n≥2 時, .又 , ∴數(shù)列中的最大項為. 10. 已知證明. 解析: ,然后兩邊取自然對數(shù),可以得到然后運用和裂項可以得到答案)放縮思路：。于是， 即注：題目所給條件（）為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當(dāng)然，本題還可用結(jié)論來放縮： ，即11．已知函數(shù)若 解析:設(shè)函數(shù) ∴函數(shù)）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.∴的最小值為，即總有 而 即 令則 12． 已知函數(shù)是在上處處可導(dǎo)的函數(shù),若在上恒成立. (I)求證：函數(shù)上是增函數(shù)； (II)當(dāng)； (III)已知不等式時恒成立，求證：解析:(I),所以函數(shù)上是增函數(shù) (II)因為上是增函數(shù),所以 兩式相加后可以得到 (3) …… 相加后可以得到: 所以令,有
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