用導(dǎo)數(shù)證明不等式共5篇(參考版)
2024-10-31 18:37本頁(yè)面
【正文】 。評(píng)注：這類(lèi)非明顯一元函數(shù)式的不等式證明問(wèn)題，首先變換成某一個(gè)一元函數(shù)式分別在兩個(gè)不同點(diǎn)處的函數(shù)值的大小比較問(wèn)題，只要將這個(gè)函數(shù)式找到了，通過(guò)設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性，就可以解決不等式證明問(wèn)題。mn證明：(1+m)n(1+n)m分析：要證(1+m)n(1+n)m成立，只要證ln(1+m)nln(1+n)m即要證11ln(1+m)ln(1+n)成立。(x)=11 1+x１\ln(1+x)x Q x0 \ 1 \ g162。)上f(x)單調(diào)遞增1+xx2\ f(x)f(0)=0 \ ln(1+x)x21+x)x。Q x0 即 1+x0 x20x2\ f162。)x1+x,可知f(x)f(x+1)即 ln(x+1)ln(x+2)lnxln(x+1)所以 ln2(x+1)lnxln(x+2).利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)證明不等式是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一個(gè)重要方面，也成為高考的一個(gè)新熱點(diǎn)，其關(guān)鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，判斷區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值與0的關(guān)系，其實(shí)質(zhì)就是利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)單調(diào)性證明不等式。）因而在內(nèi)恒有f39。): 作輔助函數(shù)f(x)=ln(x+1)(x1)lnxlnxln(x+1)xlnx(x+1)ln(x+1)=于是有f162。)上單調(diào)遞增，又f(0)=0,\ex1x1x20,即x0時(shí)，:當(dāng)x1時(shí),有l(wèi)n(x+1)lnxln(x+2).1+x+12x成立。)恒成立。)上恒成立，\f(x)在即f39。(x)=e10.\g(x)在(0,+165。(x)=(x)=e1x,則g39。x練習(xí)：0時(shí)，證明不等式e1+x+12x成立。0,由減函數(shù)的定義可知，x206。(a,b),可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)g(x)，如果F39。(0,p)時(shí)，sinxx成立。(x)0.∴f(x)=sinxx在x206。(x)=cosx1.∵x206。(0,p)時(shí)，證明不等式sinxx成立。(x)f(0)=0 =x+1x+1 即x－lnx0，所以：x0時(shí)，xlnx 評(píng)注：要證明一個(gè)一元函數(shù)組成的不等式成立，首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)（可以移項(xiàng)，使右邊為零，將移項(xiàng)后的左式設(shè)為函數(shù)），并利 用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要 證的不等式。(0,+165。0 由f39。)上可導(dǎo)。)是增函數(shù)。)。x206。4f(b)f(a)(abc)(ba)2參 考 文 獻(xiàn)《數(shù)學(xué)分析》上冊(cè)，高等教育出版社，1990.[1]鄭英元，毛羽輝，宋國(guó)棟編，[2]趙煥光，林長(zhǎng)勝編《數(shù)學(xué)分析》上冊(cè)，四川大學(xué)出版社，2006。39。39。(x)179。(x)f(h),(ba)224當(dāng)f39。(h)(ba)2相減，得f(b)f(a)=,244f(b)f(a)1(ba)2即=f39。(x)f39。(h)(ba)2abf()=f(b)+(ah),22!42f39。(x)(ba)2abf()=f(a)+(ax),22!42a+bf39。(h)f(x)=f(b)+(xb)2,于是2!a+bf39。(x)(xa)22!f39。(b)=0，得f(x)=f(a)+f39。2(ba)證明：由f(x)在x=a和x=b處的泰勒公式，并利用f39。(c)179。(b)=0，則在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使f39。(x)，（2）f39。(x)滿(mǎn)足：（1）在區(qū)間[a,b]上有二階導(dǎo)函數(shù)f39。f(0)+1!2!n!帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式的實(shí)質(zhì)是拉格朗日微分中值定理的深化，他是一個(gè)定量估計(jì)式，該公式在不等式證明和微分不等式證明及較為復(fù)雜的極限計(jì)算中有廣泛的應(yīng)用。(0)2fn(0)n(x)+(x)+L(x)。(0)f39。(0)2fn(0)nf(x)179。(0)f39。0(或163。39。(x0)fn(x0)2(xx0)+(xx0)+L(xx0)n+Rn(x)f(x)=f(x0)+1!2!n!在泰勒公式中，取x0=0,變?yōu)辂溈藙诹止絝39。(x0)f39。1。1163。由于函數(shù)f(x)內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，沒(méi)有不可導(dǎo)點(diǎn)，又函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)x=1和2111p1)=p1,f(0)=f(1),區(qū)間端點(diǎn)(x=0和x=1)的函數(shù)值為f()=)p+(1所以22221f(x)在[0,1]的最小值為p1，最大值為1，從而對(duì)于[0,1]中的任意x有211163。(x)=0，可得xp1=(1x)p1，于是有x=1x，從而求得x=1。1)則有f39。1 2證明：構(gòu)造函數(shù)
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