【文章內容簡介】 ＝ 1 ? ，S n － S n － 1 ? n ≥ 2 ? ，將其轉化為數列性質的論證 ， 從而轉化為等比數列進行研究 ． ? 探究點二 子數列或衍生數列問題 子數列和衍生數列問題都是指由原數列中的若干項打亂順序或進行運算后重新組成新的數列問題 ． 例 2 已知數列 { a n } 滿足 a 1 ＋ a 2 ＋ ? ＋ a n ＝ n2( n ∈ N*) ． ( 1 ) 求數列 { a n } 的通項公式 ； ( 2 ) 對任意給定的 k ∈ N*， 是否存在 p ， r ∈ N*( k p r ) 使1a k，1a p，1a r成等差數列 ？ 若存在 ， 用 k 分別表示 p 和 r ； 若不存在 ， 請說明理由 ； 【解答】 (1) 當 n ＝ 1 時， a1＝ 1 ； 當 n ≥ 2 ， n ∈ N*時， a1＋ a2＋ ? ＋ an － 1＝ ( n － 1)2， 所以 an＝ n2－ ( n － 1)2＝ 2 n － 1 ； 當 n ＝ 1 時，也適合． 綜上所述， an＝ 2 n － 1( n ∈ N*) ． (2) 當 k ＝ 1 時，若存在 p ， r 使1ak，1ap，1ar成等差數列，則1ar＝2ap－1ak＝3 － 2 p2 p － 1. 因為 p ≥ 2 ，所以 ar0 ，與數列 { an} 為正數相矛盾 ．因此，當 k ＝ 1 時，不存在． 當 k ≥ 2 時，設 ak＝ x ， ap＝ y ， ar＝ z ，則1x＋1z＝2y，所以 z ＝xy2 x － y. 令 y ＝ 2 x － 1 得 z ＝ xy ＝ x (2 x － 1) ， 此時 ak＝ x ＝ 2 k － 1 ， ap＝ y ＝ 2 x － 1 ＝ 2(2 k － 1) － 1 ， 所以 p ＝ 2 k － 1 ， ar＝ z ＝ (2 k － 1)(4 k － 3) ＝ 2(4 k2－ 5 k ＋ 2) － 1 ，所以 r ＝ 4 k2－ 5 k ＋ 2 ； 綜上所述，當 k ＝ 1 時，不存在 p ， r ；當 k ≥ 2 時，存在 p ＝ 2 k － 1 ， r ＝ 4 k2－ 5 k ＋ 2滿足題設 ． 【點評】 原數列中是否有三項成等差數列或等比數列，即轉化為等式1a r＋1a k＝2a p是否有解的論證，應該先利用 k ， p ， r 的范圍和整數的性質，來論證多元方程是否有解，本題的關鍵是用 k分別表示 p 和 r ，則可以將 k 看作系數，將三元方程轉化為二元方程求解． 例 3 已知數列 { an} 的前 n 項和為 Sn， 且滿足 2 Sn＝ pan－ 2 n ，n ∈ N*， 其中常數 p 2. ( 1 ) 證明 ： 數列 { an＋ 1} 為等比數列 ； ( 2 ) 若 a2＝ 3 ， 求數列 { an} 的通項公式 ； ( 3 ) 對于 ( 2 ) 中數列 { an} ， 若數列 { bn} 滿足 bn＝ log2( an＋ 1 )( n ∈N*) ， 在 bk與 bk ＋ 1之間插入 2k － 1( k ∈ N*) 個 2 ， 得到一個新的數列{ cn} ， 試問 ： 是否存在正整數 m ， 使得數列 { cn} 的前 m 項的和 Tm＝ 201 1 ？ 如果存在 ， 求出 m 的值 ； 如果不存在 ， 說明理由 ． 【解答】 (1) 證明：因為 2 Sn＝ pan－ 2 n ，所以 2 Sn ＋ 1＝ pan ＋ 1－ 2( n ＋ 1) ， 所以 2 an ＋ 1＝ pan ＋ 1－ pan－ 2 ，所以 an ＋ 1＝pp － 2an＋2p － 2，所以 an ＋ 1＋ 1 ＝pp － 2( an＋ 1) ． 因為 2 a1＝ pa1－ 2 ，所以 a1＝2p － 20 ，所以 a1＋ 1 0 ， 所以an ＋ 1＋ 1an＋ 1＝pp － 2≠ 0 ，所以數列 { an＋ 1} 為等比數列． (2) 由 (1) 知 an＋ 1 ＝????????pp － 2n，所以 an＝????????pp － 2n－ 1 ，又因為 a2＝ 3 ，所以????????pp － 22－ 1 ＝ 3 ， 所以 p ＝ 4 ，所以 an＝ 2n－ 1. (3) 由 (2) 得 bn＝ l og22n，即 bn＝ n ( n ∈ N*) ，數列 { cn} 中， bk( 含 bk項 ) 前的所有項的和是：(1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ ? ＋ k ) ＋ (20＋ 21＋ 22＋ ? ＋ 2k － 2) 2 ＝k ? k ＋ 1 ?2＋ 2k－ 2 ， 當 k ＝ 10 時，其和是 55 ＋ 210－ 2 ＝ 1077 201 1 ， 當 k ＝ 11 時，其和是 66 ＋ 211－ 2 ＝ 21 12 201 1 ， 又因為 201 1 － 1 077 ＝ 934 ＝ 467 2 ，是 2 的倍數， 所以當 m ＝ 10 ＋ (1 ＋ 2 ＋ 22＋ ? ＋ 28) ＋ 467 ＝ 988 時， Tm＝ 2 01 1 ，所以存在 m ＝ 988 使得 Tm＝ 201 1 . 【點評】 在原數列中插入若干個數構成的新數列問題， 關鍵是弄清楚原數列的項在新數列中的特征，插入的若干個數與原數列項之間的關系． ? 探究點三 數列新定義問題 數列中的新定義問題主要將其轉化為關于數列相關參數 的基本等式，其實等差數列也是一個定義其本質是 a n ＋ 1 － a n ＝ d . 例 4 設數列 { an} 是一個無窮數列，記 Tn＝ ?i ＝ 1n ＋ 22i － 1ai＋ 2 a1－ a3－ 2n ＋ 2an ＋ 1， n ∈ N*. (1) 若 { an} 是等差數列，證明：對于任意的 n ∈ N*， Tn＝ 0 ； (2) 對任意的 n ∈ N*，若 Tn＝ 0 ，證明： { an} 是等差數列； (3) 若 Tn＝ 0 ，且 a1＝ 0 ， a2＝ 1 ，數列 { bn} 滿足 bn＝ 2 an，由 { bn}構成一個新數列 3 ， b2， b3， ? 設這個新數列的前 n 項和為 Sn，若Sn可以寫成 ab， ( a ， b ∈ N ， a 1 ， b 1) ，則稱 Sn為 “ 好和 ” ． 問 S1，S2， S3， ? 中是否存在 “ 好和 ” ，若存在，求出所有 “ 好和 ” ；若不存在，說明理由． 【解答】 (1) 證明：對于任意的正整數 n ， ∵ Tn＝ ?i ＝ 1n ＋ 22i － 1ai＋ 2 a1－ a3－ 2n ＋ 2an ＋ 1， ∴ 2 Tn＝ 2 ?i ＝ 1n ＋ 22i － 1ai＋ 4 a1－ 2 a3－ 2n ＋ 3an ＋ 1， 將上面兩等式作差得： － Tn＝ a3－ a1＋ ?i ＝ 1n ＋ 12i( ai ＋ 1－ ai) ＋ 2n ＋ 2( an ＋ 1－ an ＋ 2) ． ∵ 數列 { an} 是等差數列，設其公差為 d ， ∴ － Tn＝ 2 d ＋ d ?i ＝ 1n ＋ 12i－ 2n ＋ 2d ＝ 0 ， ∴ Tn＝ 0. ( 2 ) ∵ 對于任意的正整數 n ， Tn＝ ?i ＝ 1n ＋ 22i － 1ai＋ 2 a1－ a3－ 2n ＋ 2an ＋ 1＝ 0 ， ∴ Tn ＋ 1＝ ?i ＝ 1n ＋ 32i － 1ai＋ 2 a1－ a3－ 2n ＋ 3an ＋ 2＝ 0 ， 將上面兩等式作差得 ： an ＋ 1－ 2 an ＋ 2＋ an ＋ 3＝ 0. 由 T1＝ ?i ＝ 132i － 1ai＋ 2 a1－ a3－ 23a2＝ 0 即 a3－ a2＝ a2－ a1， 綜上 ， 對 一切正整數 n ， 都有 an ＋ 1－ 2 an＋ an － 1＝ 0 ， 所以數列 { an} 是等差數列 ． (3 ) 由 (2 ) 知 { an} 是等差數列，其公差是 1 ， 所以 an＝ a1＋ ( n － 1) ＝ n － 1 ， bn＝ 2 an＝ 2n － 1. 當 n ≥ 2 時， Sn＝ 3 ＋ 2 ＋ 4 ＋ ? ＋ 2n － 1＝ 2n＋ 1 ， S1＝ 3 ， 所以對正整數 n 都有 Sn＝ 2n＋ 1. 由 ab＝ 2n＋ 1 ， ab－ 1 ＝ 2n， a ， b ∈ N ， a 1 ， b 1 ， a 只能是不小于 3 的奇數． 當 b 為偶數時， ab－ 1 ＝??????ab2＋ 1??????ab2－ 1 ＝ 2n， 因為 ab2＋ 1 和 ab2－ 1 都是大于 1 的正整數， 所以存在正整數 t ， s ，使得 ab2＋ 1 ＝ 2s， ab2－ 1 ＝ 2t， 2s－ 2t＝ 2,2t(2s － t－ 1) ＝ 2,2t＝ 2 且 2s － t－ 1 ＝ 1 ， t ＝ 1 ， s ＝ 2 ，相應的 n ＝ 3 ，即有 S3＝ 32， S3為好和； 當 b 為奇數時， ab－ 1 ＝ ( a － 1) (1 ＋ a ＋ a2＋ ? ＋ ab － 1) ，由于 1 ＋ a ＋ a2＋ ? ＋ab － 1是 b 個奇數之和，仍為奇數，又 a － 1 為正偶數，所以 ( a － 1) (1 ＋ a ＋ a2＋ ?＋ ab － 1) ＝ 2n不成立，這時沒有好和． 【點評】 本題中的新定義了 “ 好和 ” ， 其本質為 2n＋ 1 ＝ab是否有相應的整數解 ， 這類問題需要對式子的結構的特征 ，參數 a ， b ， n 的特征進行分析 ， 多用特殊值先代入常識 ， 再進行一般的論證 ． 例 [ 201 1 江蘇卷 ] 設 M 為部分正整數組成的集合 ， 數列{ a n } 的首項 a 1 ＝ 1 ， 前 n 項的和為 S n ， 已知對任意的整數 k ∈ M ，當整數 n k 時 ， S n ＋ k ＋ S n － k ＝ 2 ( S n ＋ S k ) 都成立 ． ( 1 ) 設 M ＝ { 1} ， a 2 ＝ 2 ， 求 a 5 的值 ； ( 2 ) 設 M ＝ {3 , 4} ， 求數列 { a n } 的通項公式 ． 【分析】 本題所給的 S n ＋ k ＋ S n － k ＝ 2 ( S n ＋ S k ) 為前 n 項和之間的遞推關系式 ， 將該遞推關系式轉化為通項之間的關系式是本題的關鍵 ， 還需要用到分類 討論的思想 ， 其實本題的第一小問是本題的簡單化的嘗試 ． 【解 答 】 ( 1 ) 由題設知，當 n ≥ 2 時， Sn ＋ 1＋ Sn － 1＝ 2 ( Sn＋ S1) ，即 ( Sn ＋ 1－ Sn) －