【文章內(nèi)容簡介】 ＝ 1 ? ，S n － S n － 1 ? n ≥ 2 ? ，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)列性質(zhì)的論證 ， 從而轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列進(jìn)行研究 ． ? 探究點二 子數(shù)列或衍生數(shù)列問題 子數(shù)列和衍生數(shù)列問題都是指由原數(shù)列中的若干項打亂順序或進(jìn)行運算后重新組成新的數(shù)列問題 ． 例 2 已知數(shù)列 { a n } 滿足 a 1 ＋ a 2 ＋ ? ＋ a n ＝ n2( n ∈ N*) ． ( 1 ) 求數(shù)列 { a n } 的通項公式 ； ( 2 ) 對任意給定的 k ∈ N*， 是否存在 p ， r ∈ N*( k p r ) 使1a k，1a p，1a r成等差數(shù)列 ？ 若存在 ， 用 k 分別表示 p 和 r ； 若不存在 ， 請說明理由 ； 【解答】 (1) 當(dāng) n ＝ 1 時， a1＝ 1 ； 當(dāng) n ≥ 2 ， n ∈ N*時， a1＋ a2＋ ? ＋ an － 1＝ ( n － 1)2， 所以 an＝ n2－ ( n － 1)2＝ 2 n － 1 ； 當(dāng) n ＝ 1 時，也適合． 綜上所述， an＝ 2 n － 1( n ∈ N*) ． (2) 當(dāng) k ＝ 1 時，若存在 p ， r 使1ak，1ap，1ar成等差數(shù)列，則1ar＝2ap－1ak＝3 － 2 p2 p － 1. 因為 p ≥ 2 ，所以 ar0 ，與數(shù)列 { an} 為正數(shù)相矛盾 ．因此，當(dāng) k ＝ 1 時，不存在． 當(dāng) k ≥ 2 時，設(shè) ak＝ x ， ap＝ y ， ar＝ z ，則1x＋1z＝2y，所以 z ＝xy2 x － y. 令 y ＝ 2 x － 1 得 z ＝ xy ＝ x (2 x － 1) ， 此時 ak＝ x ＝ 2 k － 1 ， ap＝ y ＝ 2 x － 1 ＝ 2(2 k － 1) － 1 ， 所以 p ＝ 2 k － 1 ， ar＝ z ＝ (2 k － 1)(4 k － 3) ＝ 2(4 k2－ 5 k ＋ 2) － 1 ，所以 r ＝ 4 k2－ 5 k ＋ 2 ； 綜上所述，當(dāng) k ＝ 1 時，不存在 p ， r ；當(dāng) k ≥ 2 時，存在 p ＝ 2 k － 1 ， r ＝ 4 k2－ 5 k ＋ 2滿足題設(shè) ． 【點評】 原數(shù)列中是否有三項成等差數(shù)列或等比數(shù)列，即轉(zhuǎn)化為等式1a r＋1a k＝2a p是否有解的論證，應(yīng)該先利用 k ， p ， r 的范圍和整數(shù)的性質(zhì)，來論證多元方程是否有解，本題的關(guān)鍵是用 k分別表示 p 和 r ，則可以將 k 看作系數(shù)，將三元方程轉(zhuǎn)化為二元方程求解． 例 3 已知數(shù)列 { an} 的前 n 項和為 Sn， 且滿足 2 Sn＝ pan－ 2 n ，n ∈ N*， 其中常數(shù) p 2. ( 1 ) 證明 ： 數(shù)列 { an＋ 1} 為等比數(shù)列 ； ( 2 ) 若 a2＝ 3 ， 求數(shù)列 { an} 的通項公式 ； ( 3 ) 對于 ( 2 ) 中數(shù)列 { an} ， 若數(shù)列 { bn} 滿足 bn＝ log2( an＋ 1 )( n ∈N*) ， 在 bk與 bk ＋ 1之間插入 2k － 1( k ∈ N*) 個 2 ， 得到一個新的數(shù)列{ cn} ， 試問 ： 是否存在正整數(shù) m ， 使得數(shù)列 { cn} 的前 m 項的和 Tm＝ 201 1 ？ 如果存在 ， 求出 m 的值 ； 如果不存在 ， 說明理由 ． 【解答】 (1) 證明：因為 2 Sn＝ pan－ 2 n ，所以 2 Sn ＋ 1＝ pan ＋ 1－ 2( n ＋ 1) ， 所以 2 an ＋ 1＝ pan ＋ 1－ pan－ 2 ，所以 an ＋ 1＝pp － 2an＋2p － 2，所以 an ＋ 1＋ 1 ＝pp － 2( an＋ 1) ． 因為 2 a1＝ pa1－ 2 ，所以 a1＝2p － 20 ，所以 a1＋ 1 0 ， 所以an ＋ 1＋ 1an＋ 1＝pp － 2≠ 0 ，所以數(shù)列 { an＋ 1} 為等比數(shù)列． (2) 由 (1) 知 an＋ 1 ＝????????pp － 2n，所以 an＝????????pp － 2n－ 1 ，又因為 a2＝ 3 ，所以????????pp － 22－ 1 ＝ 3 ， 所以 p ＝ 4 ，所以 an＝ 2n－ 1. (3) 由 (2) 得 bn＝ l og22n，即 bn＝ n ( n ∈ N*) ，數(shù)列 { cn} 中， bk( 含 bk項 ) 前的所有項的和是：(1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ ? ＋ k ) ＋ (20＋ 21＋ 22＋ ? ＋ 2k － 2) 2 ＝k ? k ＋ 1 ?2＋ 2k－ 2 ， 當(dāng) k ＝ 10 時，其和是 55 ＋ 210－ 2 ＝ 1077 201 1 ， 當(dāng) k ＝ 11 時，其和是 66 ＋ 211－ 2 ＝ 21 12 201 1 ， 又因為 201 1 － 1 077 ＝ 934 ＝ 467 2 ，是 2 的倍數(shù)， 所以當(dāng) m ＝ 10 ＋ (1 ＋ 2 ＋ 22＋ ? ＋ 28) ＋ 467 ＝ 988 時， Tm＝ 2 01 1 ，所以存在 m ＝ 988 使得 Tm＝ 201 1 . 【點評】 在原數(shù)列中插入若干個數(shù)構(gòu)成的新數(shù)列問題， 關(guān)鍵是弄清楚原數(shù)列的項在新數(shù)列中的特征，插入的若干個數(shù)與原數(shù)列項之間的關(guān)系． ? 探究點三 數(shù)列新定義問題 數(shù)列中的新定義問題主要將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于數(shù)列相關(guān)參數(shù) 的基本等式，其實等差數(shù)列也是一個定義其本質(zhì)是 a n ＋ 1 － a n ＝ d . 例 4 設(shè)數(shù)列 { an} 是一個無窮數(shù)列，記 Tn＝ ?i ＝ 1n ＋ 22i － 1ai＋ 2 a1－ a3－ 2n ＋ 2an ＋ 1， n ∈ N*. (1) 若 { an} 是等差數(shù)列，證明：對于任意的 n ∈ N*， Tn＝ 0 ； (2) 對任意的 n ∈ N*，若 Tn＝ 0 ，證明： { an} 是等差數(shù)列； (3) 若 Tn＝ 0 ，且 a1＝ 0 ， a2＝ 1 ，數(shù)列 { bn} 滿足 bn＝ 2 an，由 { bn}構(gòu)成一個新數(shù)列 3 ， b2， b3， ? 設(shè)這個新數(shù)列的前 n 項和為 Sn，若Sn可以寫成 ab， ( a ， b ∈ N ， a 1 ， b 1) ，則稱 Sn為 “ 好和 ” ． 問 S1，S2， S3， ? 中是否存在 “ 好和 ” ，若存在，求出所有 “ 好和 ” ；若不存在，說明理由． 【解答】 (1) 證明：對于任意的正整數(shù) n ， ∵ Tn＝ ?i ＝ 1n ＋ 22i － 1ai＋ 2 a1－ a3－ 2n ＋ 2an ＋ 1， ∴ 2 Tn＝ 2 ?i ＝ 1n ＋ 22i － 1ai＋ 4 a1－ 2 a3－ 2n ＋ 3an ＋ 1， 將上面兩等式作差得： － Tn＝ a3－ a1＋ ?i ＝ 1n ＋ 12i( ai ＋ 1－ ai) ＋ 2n ＋ 2( an ＋ 1－ an ＋ 2) ． ∵ 數(shù)列 { an} 是等差數(shù)列，設(shè)其公差為 d ， ∴ － Tn＝ 2 d ＋ d ?i ＝ 1n ＋ 12i－ 2n ＋ 2d ＝ 0 ， ∴ Tn＝ 0. ( 2 ) ∵ 對于任意的正整數(shù) n ， Tn＝ ?i ＝ 1n ＋ 22i － 1ai＋ 2 a1－ a3－ 2n ＋ 2an ＋ 1＝ 0 ， ∴ Tn ＋ 1＝ ?i ＝ 1n ＋ 32i － 1ai＋ 2 a1－ a3－ 2n ＋ 3an ＋ 2＝ 0 ， 將上面兩等式作差得 ： an ＋ 1－ 2 an ＋ 2＋ an ＋ 3＝ 0. 由 T1＝ ?i ＝ 132i － 1ai＋ 2 a1－ a3－ 23a2＝ 0 即 a3－ a2＝ a2－ a1， 綜上 ， 對 一切正整數(shù) n ， 都有 an ＋ 1－ 2 an＋ an － 1＝ 0 ， 所以數(shù)列 { an} 是等差數(shù)列 ． (3 ) 由 (2 ) 知 { an} 是等差數(shù)列，其公差是 1 ， 所以 an＝ a1＋ ( n － 1) ＝ n － 1 ， bn＝ 2 an＝ 2n － 1. 當(dāng) n ≥ 2 時， Sn＝ 3 ＋ 2 ＋ 4 ＋ ? ＋ 2n － 1＝ 2n＋ 1 ， S1＝ 3 ， 所以對正整數(shù) n 都有 Sn＝ 2n＋ 1. 由 ab＝ 2n＋ 1 ， ab－ 1 ＝ 2n， a ， b ∈ N ， a 1 ， b 1 ， a 只能是不小于 3 的奇數(shù)． 當(dāng) b 為偶數(shù)時， ab－ 1 ＝??????ab2＋ 1??????ab2－ 1 ＝ 2n， 因為 ab2＋ 1 和 ab2－ 1 都是大于 1 的正整數(shù)， 所以存在正整數(shù) t ， s ，使得 ab2＋ 1 ＝ 2s， ab2－ 1 ＝ 2t， 2s－ 2t＝ 2,2t(2s － t－ 1) ＝ 2,2t＝ 2 且 2s － t－ 1 ＝ 1 ， t ＝ 1 ， s ＝ 2 ，相應(yīng)的 n ＝ 3 ，即有 S3＝ 32， S3為好和； 當(dāng) b 為奇數(shù)時， ab－ 1 ＝ ( a － 1) (1 ＋ a ＋ a2＋ ? ＋ ab － 1) ，由于 1 ＋ a ＋ a2＋ ? ＋ab － 1是 b 個奇數(shù)之和，仍為奇數(shù)，又 a － 1 為正偶數(shù)，所以 ( a － 1) (1 ＋ a ＋ a2＋ ?＋ ab － 1) ＝ 2n不成立，這時沒有好和． 【點評】 本題中的新定義了 “ 好和 ” ， 其本質(zhì)為 2n＋ 1 ＝ab是否有相應(yīng)的整數(shù)解 ， 這類問題需要對式子的結(jié)構(gòu)的特征 ，參數(shù) a ， b ， n 的特征進(jìn)行分析 ， 多用特殊值先代入常識 ， 再進(jìn)行一般的論證 ． 例 [ 201 1 江蘇卷 ] 設(shè) M 為部分正整數(shù)組成的集合 ， 數(shù)列{ a n } 的首項 a 1 ＝ 1 ， 前 n 項的和為 S n ， 已知對任意的整數(shù) k ∈ M ，當(dāng)整數(shù) n k 時 ， S n ＋ k ＋ S n － k ＝ 2 ( S n ＋ S k ) 都成立 ． ( 1 ) 設(shè) M ＝ { 1} ， a 2 ＝ 2 ， 求 a 5 的值 ； ( 2 ) 設(shè) M ＝ {3 , 4} ， 求數(shù)列 { a n } 的通項公式 ． 【分析】 本題所給的 S n ＋ k ＋ S n － k ＝ 2 ( S n ＋ S k ) 為前 n 項和之間的遞推關(guān)系式 ， 將該遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為通項之間的關(guān)系式是本題的關(guān)鍵 ， 還需要用到分類 討論的思想 ， 其實本題的第一小問是本題的簡單化的嘗試 ． 【解 答 】 ( 1 ) 由題設(shè)知，當(dāng) n ≥ 2 時， Sn ＋ 1＋ Sn － 1＝ 2 ( Sn＋ S1) ，即 ( Sn ＋ 1－ Sn) －