【文章內容簡介】 ……………………………………………… (8分)∵ ………………………… (9分)∴ ……………………………………（11分）現(xiàn)證.當，故時不等式成立 ………………………………………………（12分）當?shù)?，且由，? …………………………………… （14分）【例13】．已知數(shù)列、中，對任何正整數(shù)都有：．（1）若數(shù)列是首項和公差都是1的等差數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是否是等差數(shù)列，若是請求出通項公式，若不是請說明理由；（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，求證：．又，故 ，要使是與無關的常數(shù)，必需， 即①當?shù)缺葦?shù)列的公比時，數(shù)列是等差數(shù)列，其通項公式是；②當?shù)缺葦?shù)列的公比不是2時，數(shù)列不是等差數(shù)列． （3）由（2）知， 【例14】． 在數(shù)列中，（Ⅰ）試比較與的大?。唬á颍┳C明：當時，.解：（Ⅰ）由題設知，對任意，都有 ， ………………………………6分（Ⅱ）證法1：由已知得，又.當時， …………………………………10分設 ①則 ②①②，得……………………14分證法2：由已知得，（1） 當時，由，知不等式成立?！?分（2） 假設當不等式成立，即，那么 要證 ，只需證即證 ，則只需證………………10分因為成立，所以成立.這就是說，當時，不等式仍然成立.根據(jù)（1）和（2），對任意，且，都有……14分【例15】．已知函數(shù)的定義域為R, 且對于任意R,存在正實數(shù),使得都成立.(1) 若,求的取值范圍；(2) 當時，數(shù)列滿足，.① 證明：；② 令，證明：.(1) 證明：對任意R，有： . …… 2分 由,即. 當時,得. 且， ∴. …… 4分 ∴要使對任意R都成立,只要. 當時, 恒成立. ∴的取值范圍是. …… 5分(2) 證明：①∵，,故當時， . … 6分∴ …… 7分 . …… 8分∵,∴當時,不等式也成立. …… 9分②∵, ∴ . …… 11分∴ . （3）用數(shù)學歸納法證明數(shù)列不等式：【例16】　(08安徽高考)設數(shù)列{an}滿足a1＝0，an+1＝can3＋1－c，c∈N*，其中c為實數(shù).(Ⅰ)證明：an∈[0，1]對任意n∈N*成立的充分必要條件是c∈[0，1]；(Ⅱ)設0＜c＜，證明：an≥1－(3c)n1，n∈N*；（Ⅲ）設0＜c＜，證明：a12＋a22＋…＋an2＞n＋1－，n∈N*.20090318【分析】　第（1）小題可考慮用數(shù)學歸納法證明；第（2）小題可利用綜合法結合不等關系的迭代；第（3）小題利用不等式的傳遞性轉化等比數(shù)列，然后利用前n項和求和，再進行適當放縮.【解】（Ⅰ）必要性：∵a1＝0，a2＝1－c，又∵a2∈[0，1]，∴0≤1－c≤1，即c∈[0，1].充分性：設c∈[0，1]，對n∈N*用數(shù)學歸納法證明an∈[0，1].(1)當n＝1時，a1∈[0，1].(2)假設當n＝k時，ak∈[0，1](k≥1)成立，則ak＋1＝cak3＋1－c≤c＋1－c＝1，且ak＋1＝cak3＋1－c≥1－c≥0，∴ak＋1∈[0，1]，這就是說n＝k＋1時，an∈[0，1].由（1）、（2）知，當c∈[0，1]時，知an∈[0，1]對所胡n∈N*成立.綜上所述，an∈[0，1]對任意n∈N*成立的充分必要條件是c∈[0，1].（Ⅱ）設0＜c＜，當n＝1時，a1＝0，結論成立.當n≥2時，由an＝can13＋1－c，∴1－an＝c(1－an1)(1＋an1＋an12)∵0＜c＜，由(Ⅰ)知an1∈[0，1]，所以1＋an1＋an12≤3，且1－an1≥0，∴1－an≤3c(1－an1)，∴1－an≤3c(1－an1)≤(3c)2(1－an2)≤…≤(3c) n1(1－a1)＝(3c) n1，∴an≥1－(3c)n1，n∈N*.(Ⅲ)設0＜c＜，當n＝1時，a12＝0＞2－，結論成立.當n≥2時，由（Ⅱ）知an≥1－(3c)n1＞0，∴an2≥[(1－(3c)n1)] 2＝1－2(3c)n1＋(3c)(n1)＞1－2(3c)n1，a12＋a22＋…＋an2＝a22＋…＋an2＞n－1－2[3c＋(3c)2＋…＋(3c)n1]＝n－1－2[1＋3c＋(3c)2＋…＋(3c)n1－1]＝n＋1－＞n＋1－.【點評】　本題是數(shù)列與不等式、數(shù)學歸納法的知識交匯題，屬于難題，此類試題在高考中點占有一席之地，(Ⅰ)小題實質也是不等式的證明，【例17】（2007湖北理21）（本小題滿分14分）已知m，n為正整數(shù).（Ⅰ）用數(shù)學歸納法證明：當x1時，(1+x)m≥1+mx；（Ⅱ）對于n≥6，已知，求證，m=1,1,2…，n；（Ⅲ）求出滿足等式3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n的所有正整數(shù)n.解：（Ⅰ）證：當x=0或m=1時，原不等式中等號顯然成立，下用數(shù)學歸納法證明：當x1，且x≠0時，m≥2,(1+x)m1+mx. (i)當m=2時，左邊＝1+2x+x2,右邊＝1+2x，因為x≠0,所以x20，即左邊右邊，不等式①成立；（ii）假設當m=k(k≥2)時，不等式①成立，即（1+x）k1+kx,則當m=k+1時，因為x1,所以1+x≠0,k≥2,所以kx20.于是在不等式（1+x）k1+kx兩邊同乘以1+x得（1+x）k(1+x)(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x,所以（1+x）k+11+(k+1)x,即當m＝k+1時，不等式①也成立.綜上所述，所證不等式成立.(Ⅱ)證：當而由（Ⅰ）， （Ⅲ）解：假設存在正整數(shù)成立，即有（）+＝1.　?、谟钟桑á颍┛傻茫ǎ?+與②式矛盾，故當n≥6時，不存在滿足該等式的正整數(shù)n.故只需要討論n=1,2,3,4,5的情形；當n=1時，3≠4，等式不成立；當n=2時，32+42＝52，等式成立；當n=3時，33+43+53＝63，等式成立；當n=4時，34+44+54+64為偶數(shù)，而74為奇數(shù)，故34+44+54+64≠74,等式不成立；當n=5時，同n=4的情形可分析出，等式不成立.綜上，所求的n只有n=2,3.、不等式的綜合【例18】.設函數(shù)f(x) = x2 + bln(x+1),（1）若對定義域的任意x，都有f(x)≥f(1)成立，求實數(shù)b的值；（2）若函數(shù)