高中不等式數(shù)列綜合難題(編輯修改稿)
2025-04-22 05:41 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 和探究的能力．解：（Ⅰ）．對任意有…………①令得；………………………………………………１分令由①得，用替換上式中的有………………………………………２分在上為奇函數(shù)．………………………………………………３分（Ⅱ）．滿足，則必有否則若則必有，依此類推必有，矛盾………………………………………………５分，又是為首項，為公比的等比數(shù)列，…………………………………７分 ………………………………………………８分（Ⅲ）．………………………………………………９分故……………………………………②………………………③②③得………………………………………………１１分………………………………………………１２分若對恒成立須，解得……………………１３分的最大值為． ………………………………………………１４分 解：（I）因為則有故數(shù)列是“M類數(shù)列”， 對應(yīng)的實常數(shù)分別為． ………2分因為，則有 故數(shù)列是“M類數(shù)列”， 對應(yīng)的實常數(shù)分別為． ……………………………4分（II）（1）因為 則有， ……………..6分故數(shù)列前項的和++++………………9分（2）數(shù)列是“M類數(shù)列”， 存在實常數(shù)，使得對于任意都成立，…………………………………………..10分且有對于任意都成立，因此對于任意都成立，而，且則有對于任意都成立，即對于任意都成立，因此，………………………………12分此時，………………………………13分 解：（1）當(dāng)時，定義域是， 令，得或． …2分當(dāng)或時，當(dāng)時， 函數(shù)在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． ……………4分的極大值是，極小值是．當(dāng)時，； 當(dāng)時，當(dāng)僅有一個零點時，的取值范圍是或．……………5分 （2）當(dāng)時，定義域為． 令， ， 在上是增函數(shù)． …………………………………7分①當(dāng)時，即；②當(dāng)時，即；③當(dāng)時，即． …………………………………9分（3）（法一）根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)時，即．令，則有， ． ……………12分． ……………………………………14分(法二)當(dāng)時，．，即時命題成立． ………………………………10分設(shè)當(dāng)時，命題成立，即 ．時，．根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)時，即．令，則有，則有，即時命題也成立．……………13分因此，由數(shù)學(xué)歸納法可知不等式成立． ………………………………14分（法三）如圖，根據(jù)定積分的定義，得．……11分，． ………………………………12分，又，．． …………………………………14分【說明】本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)運算法則、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、證明不等式等基礎(chǔ)知識，考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，考查考生的計算能力及分析問題、解決問題的能力和創(chuàng)新意識． 解：（1）當(dāng)時，定義域是， 令，得或． …2分當(dāng)或時，當(dāng)時， 函數(shù)在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． ……………4分的極大值是，極小值是．當(dāng)時，； 當(dāng)時，當(dāng)僅有一個零點時，的取值范圍是或．……………5分 （2）當(dāng)時，定義域為． 令， ， 在上是增函數(shù)．160
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