【正文】 。162。162。162。162。[a,b]baM(ba)3f(x)dx|163。故有 |f162。(x0)|163。(x2)(bx0)2f162。2!f162。(x0)(xx0)+f162。162。8max|f(x)| 2x206。162。(x)|，x206。ⅱ)當(dāng)x0206。162。(x)(xx0)2，x206。(x)|179。[a,b](ba)x206。(x)f(c)(pc)2，2!因?yàn)閒(c)f(p)0，所以有f(c)f162。(x)(xc)2，x206。例1 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)二價(jià)可導(dǎo)，且存在極值f(c)及點(diǎn)p206。于是有(ba)2|f(b)f(a)|163。162。(b)=0，得：(ba)2(ba)2|f(b)f(a)|=|f162。(x1)ba2)=f(a)+f162。162。(x)，展開點(diǎn)常選為區(qū)間兩端點(diǎn)a，b，然后在泰勒公式中取x為適當(dāng)?shù)闹?，消去多余的?xiàng)，可得待證的不等式。(x)(xx0)2dx|163。(x)(xx0)2 2!上式在[a,b]作定積分，然后取絕對(duì)值|242。(x)|。a+b246。162。(x1)(x1x0)2,x1206。2248。例1 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上有二階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)且f162。泰勒公式證明不等式 泰勒公式的內(nèi)容泰勒公式[1] 如果函數(shù)f(x)在含有x0的開區(qū)間(a,b)內(nèi)有直到n+1階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任一點(diǎn)x0206。0，由柯西中值定理得：f(x)f(a)f162。(x)|g162。(z)的表達(dá)式，然后再對(duì)其進(jìn)行放大或放小，這樣就可證明不等式。利用微分中值定理證明不等式拉格朗日中值定理[1]：在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。n)時(shí)取等號(hào),bi同號(hào)且不為零(i=1,2,?,n)，則，當(dāng)且僅當(dāng)b1=b2=?=bn時(shí)取等柯西不等式的一般證法有以下幾種： ①Cauchy不等式的形式化寫法就是：記兩列數(shù)分別是ai, bi，則有(∑ai^2)*(∑bi^2)≥(∑ai * bi)^ f(x)= ∑(ai + x * bi)^2 =(∑bi^2)* x^2 + 2 *(∑ai * bi)* x +(∑ai^2)則我們知道恒有 f(x)≥ ，就有 Δ = 4 *(∑ai * bi)^24 *(∑ai^2)*(∑bi^2)≤ 。(1)三角代換法：多用于條件不等式的證明，當(dāng)所給條件較復(fù)雜，一個(gè)變量不易用另一個(gè)變量表示，這時(shí)可考慮三角代換，將兩個(gè)變量都有同一個(gè)參數(shù)表示。其邏輯關(guān)系為：AB1 B2 B3? BnB，即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結(jié)論B。第一篇：不等式證明方法不等式證明方法 比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個(gè)實(shí)數(shù)大小順序和運(yùn)算性質(zhì)的直接應(yīng)用，比較法可分為差值比較法(簡(jiǎn)稱為求差法)和商值比較法(簡(jiǎn)稱為求商法)。 利用已知事實(shí)(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎(chǔ)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式，其特點(diǎn)和思路是“由因?qū)Ч?，從“已知”看“需知”，逐步推出“結(jié)論”。主要有兩種換元形式。i163。本文從微分中值定理、泰勒公式、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的凸性、等高等數(shù)學(xué)的層面對(duì)不等式證明方法進(jìn)行歸納等式證明方法進(jìn)行歸納。(x)利用微分中值定理證明不等式的基本思想：根據(jù)所要證明的特點(diǎn)，作出相 1應(yīng)的輔助函數(shù)f(x)，而所作的輔助函數(shù)應(yīng)滿足拉格朗日定理或柯西中值定理?xiàng)l件，就可以得到滿足拉格朗日定理或柯西中值定理?xiàng)l件的一點(diǎn)z，即也得到相應(yīng)f162。例2[2] 設(shè)f(x)、g(x)在閉區(qū)間[a,x]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,x)上可導(dǎo)，且|f162。(x)185。(x)故原不等式成立。 展開點(diǎn)x0選取區(qū)間的中點(diǎn)情況[3]證明思想：選區(qū)間中點(diǎn)展開是較常見的一種情況，然后在泰勒公式中取x為適當(dāng)?shù)闹?，通過兩式相加，并對(duì)某些項(xiàng)進(jìn)行放縮，便可將多余的項(xiàng)去掉而得所要的不等式。2232。162。(x1)f162。(x)0，而其余的條件不變，則結(jié)論改為x1+x2f(x1)+f(x2)f() 22230。162。162。162。162。(a)(xa)+f162。162。(a)f162。(x2)|+|f162。(x1)|}，其中x=x1或x2。2(ba) 展開點(diǎn)選取函數(shù)的極值點(diǎn)或最值點(diǎn)的情況[5]證明思想：當(dāng)題中不等式出現(xiàn)函數(shù)的極值或最值項(xiàng), 展開點(diǎn)常選為該函數(shù)的極值點(diǎn)或最值點(diǎn)。162。162。8max|f(x)| 2x206。162。162。(x0)(xx0)+|f(x0)|=f162。(x)|179。162。(a,b)，使得：|f162。(x)|179。A，|f162。(a,b)處展開得：f(x)=f(x0)+f162。(a,x0)。162。(x1)(ax0)2]，(ba)2(ba)故|f162。(x0)|163。x206。(t)(at)+f162。(t)(b+a2t)[f162。[f162。(x1)(at)2+f162。(x2)(bt)2]dt，8abb1b|242。(x2)(bt)2dt|)aa8abbMM(ba)322163。f(x)dx163。f(a)所以242。f(a)179。af(x)dx，ab整理得：(ba)b因?yàn)?ba)242。242。(0,)時(shí)，有cost=sint或cost+sint163。1cosx1x20dx179。0（或f162。例1[9] 設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且單調(diào)遞增，試證明：242。a242。a+bbf(x)dx。162。)x2證明:設(shè)f(x)=lnx，因?yàn)閒162。n[1] 歐陽(yáng)光中、朱學(xué)炎、金福臨、陳傳樟等，數(shù)學(xué)分析，（第三版下冊(cè)），[2] 裴禮文,：高等教育出版社， [3] 劉法貴, 左衛(wèi)兵，證明積分不等式的幾種方法[J].高等數(shù)學(xué)研究 2008,11(1):111124[4] 余力、[J].高等數(shù)學(xué)研究所，2003.（6）：15—17[5] 張?jiān)破G，Taylor公式的應(yīng)用補(bǔ)遺[J].洛陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，26（5）：175—176 [6] 潘紅，儲(chǔ)亞偉，關(guān)于泰勒（Taylor）公式的幾點(diǎn)應(yīng)用[J].科技資訊，2008，6（18）：247 [7] 劉瑜等，在n階行列式計(jì)算中的應(yīng)用[J].內(nèi)江師范學(xué)院，2008，23（8）：222 [8] 韓丹，帶有Lagrange余項(xiàng)的泰勒公式的證明[J].大連教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，（3）：54—57 [9] 鄧新春，潘勁松，大學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用基礎(chǔ)（中冊(cè)）[M].長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，2006： 161—167 [10] 吳明鑫，楊占民，王社寬，凸函數(shù)在不等式證明中的應(yīng)有[J].陜西師范大學(xué)學(xué)報(bào)，20003（1）第三篇：不等式證明不等式證明不等式是數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學(xué)分支的重要工具，在數(shù)學(xué)中有重要的地位，也是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在高考和競(jìng)賽中都有舉足輕重的地位。放縮法的方法有：(1)添加或舍去一些項(xiàng)，如：2)利用基本不等式，如：(3)將分子或分母放大(或縮小)：：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易、化繁為簡(jiǎn)，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。當(dāng)a0(或0(或二、部分方法的例題換元法是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的解題方法之一。數(shù)形結(jié)合來(lái)研究問題是數(shù)學(xué)中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時(shí)，可以考慮構(gòu)造相關(guān)幾何圖形來(lái)完成，若運(yùn)用得好，有時(shí)則有神奇的功效。3；a2b2c2++179。179。21180。N*.n33(Ⅰ)求a2的值；a2=4(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；an=n2(Ⅲ)證明:對(duì)一切正整數(shù)n,有數(shù)學(xué)歸納法證明不等式16.(本小題滿分12分)若不等式11++n+1n+2+1a對(duì)一切正整數(shù)n都成立，求正3n+12411++a1a2+17.an4整數(shù)a的最大值，并證明結(jié)論．25：．第五篇：不等式證明經(jīng)典金牌師資，笑傲高考2013年數(shù)學(xué)VIP講義【例1】 設(shè)a，b∈R，求證：a2+b2≥ab+a+b1。不等號(hào)右邊為三項(xiàng)和，根據(jù)不等號(hào)方向，應(yīng)自左向右運(yùn)用基本不等式后再同向相加。為了達(dá)到目的，應(yīng)在系數(shù)上作調(diào)整。【例7】 已知ab0，求證：(ab)8a2a+b2ab(ab)8b2。238。=82(2)a2a24aa+3+8+8=2a8+82a≤282a=82a842=2令 g(b)=b24b+11232 ≥32 g(b)=(b2)2+中天教育咨詢電話：04768705333第3頁(yè)/共9頁(yè) 金牌師資，笑傲高考∵ 3222013年數(shù)學(xué)VIP講義∴ g(b)f(a)注：本題實(shí)際上利用了不等式的傳遞性，只不過中間量為常數(shù)而已，這種思路在兩數(shù)大小比較時(shí)曾講過。就本題來(lái)說(shuō)，還有一個(gè)如何充分利用條件“當(dāng)|x|≤1時(shí)，|f(x)|≤1”的解題意識(shí)。1當(dāng)00且t≠1時(shí)，logat與log21t+1a22aba+1b+1 D、a+b≥2(ab1)22的大小關(guān)系是__________。中天教育咨詢電話：04768705333第6頁(yè)/共9頁(yè)