【正文】 abc≥。1a)(b+1b)2541a+1b+1ca82013年數(shù)學(xué)VIP講義12(a+b)2+14(a+b)≥aa+ba。bab+ba。n1若a，b，c為Rt△ABC的三邊，其中c為斜邊，則an+bn與c（其中n∈N，n2）的大小關(guān)系是________________。若a，b，c是不全相等的正數(shù)，則(a+b)(b+c)(c+a)______8abc（用不等號填空）。中天教育咨詢電話：04768705333第4頁/共9頁 金牌師資，笑傲高考2013年數(shù)學(xué)VIP講義設(shè)a，b為正數(shù)，且a+b≤4，則下列各式一定成立的是 A、C、1a12+1b1a≤+141b B、≤1 D、141a≤+1a+1b≤≤1b≥1已知a，b，c均大于1，且logac當(dāng)a0時(shí)，g(x)在[1，1]上單調(diào)遞增 ∴ g(1)≤g(x)≤g(1)∵ g(1)=a+1=f(1)f(0)≤|f(1)f(0)|≤|f(1)|+|f(0)|≤2 g(1)=a+b=f(0)f(1)=[f(1)f(0)]≥|f(1)f(0)|≥[|f(1)|+|f(0)|]≥2 ∴2≤g(x)≤2 即 |g(x)|≤2 當(dāng)a思路二：直接利用絕對值不等式為了能將|ax+b|中的絕對值符號分配到a，b，可考慮a，b的符號進(jìn)行討論。從特殊化的思想出發(fā)得到： 令 x=0，|f(0)|≤1 即 |c|≤1 當(dāng)x=1時(shí)，|f(1)|≤1；當(dāng)x=1時(shí)，|f(1)|≤1 下面問題的解決試圖利用這三個(gè)不等式，即把f(0)，f(1)，f(1)化作已知量，去表示待求量。an|≤|a1|+|a2|+?+|an|。a2177。這是一個(gè)與絕對值有關(guān)的不等式證明題，除運(yùn)用前面已介紹的不等式性質(zhì)和基本不等式以外，還涉及到與絕對值有關(guān)的基本不等式，如|a|≥a，|a|≥a，||a||b||≤|a177。由此也說明，實(shí)數(shù)大小理論是不等式大小理論的基礎(chǔ)。根據(jù)表達(dá)式的特點(diǎn)，借助于函數(shù)思想，可分別求f(a)及g(b)=b24b+f(a)=112的最值，看能否通過最值之間的大小關(guān)系進(jìn)行比較。2ba+b238。a+b2a只需證237。4b(a+b)236。2239。239。實(shí)際上就是對所證不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕?、變形，?shí)際上這種變形在相當(dāng)多的題目里都是充要的。12所證不等式的形式較復(fù)雜（如從次數(shù)看，有二次，一次，次等），難以從某個(gè)角度著手。這種引參的思想是高中數(shù)學(xué)常用的重要方法。思路一所用的是基本不等式法，這里采用消元思想轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，再用單調(diào)性求解。思路一；根據(jù)x+y和x2+y2的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，聯(lián)想到算術(shù)平均數(shù)與平方平均數(shù)之間的不等關(guān)系。a2b+c+b+c4≥a，b2a+c+a+c4≥b，c2a+b+a+b4≥a 相向相加后即可。試一試行嗎？a2b+cb2+(b+c)≥2a2b+cb2(b+c)=2aa+cc2+(a+c)≥2a+c(a+c)=2ba+b+(a+b)≥2c2a+b(a+b)=2c相加后發(fā)現(xiàn)不行，a，b，c的整式項(xiàng)全消去了。（2）同學(xué)們可試一試，再用剛才的方法處理該題是行不通的。中天教育咨詢電話：04768705333第1頁/共9頁 金牌師資，笑傲高考ab=12122013年數(shù)學(xué)VIP講義22+bc2222+ca2222=212(2ab2222+2bc2222+2ca)22+ca)+(ca2[(ab+bc)+(bc22+ab)]22≥(2abc+2abc2+2abc)=ab(a+b+c)1a+1c+【例5】（1）a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：+（2）a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：a21bb2≥c21ab+1bc+1ac；b+c+a+ca+b≥a+b+c2。因不等式左邊只有三項(xiàng)，故把三項(xiàng)變化六項(xiàng)后再利用二元基本不等式，這就是“化奇為偶”的技巧。不等號兩邊均是和的形式，利用一次基本不等式顯然不行。由ad=bc得：d=bca1+ab+bc+caa+b+c+abc≥1。利用等式ad=bc，借助于消元思想，至少可以消去a，b，c，d中的一個(gè)字母。【例2】 已知0【例3】 設(shè)A=a+d，B=b+c，a，b，c，d∈R+，ad=bc，a=max{a，b，c，d}，試比較A與B的大小。N*,且+14n1,a2,a5,a14構(gòu)成等比數(shù)列．(1)證明：a2=(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；an=2n1(3)證明：對一切正整數(shù)n，有11++a1a2a2a3+11． anan+12{an}=1,2Sn12=an+1n2n,n206。180。2180。2180。求證：1+x和1+放縮法證明不等式：+111++11180。M={x|2x2}時(shí),證明:2|a+b|＜|4+ab|.反證法證明不等式，b，c均為實(shí)數(shù)，且a=x2y+2baπππ22，b=y2z+，c=z2x+，236求證：a，b，.（12分）若x,y206。8；{x|x≤－5，或x≥3}(Ⅱ)若|a|1,|b|1，且a185。3+9.(本題滿分10分)已知函數(shù)f(x)=|x1|。R。R,a+b=1ab2.（2）已知，求證：、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：分析法證明不等式“7要證明732”時(shí)作了如下分析，只需證明________________,只需證明___________,＋29+2，展開得9即,只需證明1418,________________,所以原不等式:+26+3,(7+2)(6+3)，因?yàn)?418成立。121225（a+)+(b+)179。1ca（Ⅱ）b5.（1）求不等式x32x179。.abbcac，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1，證明：1（Ⅰ）ab+bc+ac163。 235。,1綜合法證明不等式（利用均值不等式）bc, 求證：(233。第四篇：不等式證明不等式的證明比較法證明不等式a2b2abb0，求證：+b2a+b2.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講（1）已知x、y都是正實(shí)數(shù)，求證：x3+y3179。放縮方法靈活多樣，要能想到一個(gè)恰到好處進(jìn)行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識，同時(shí)要求我們具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力和一定的解題智慧。相反，將A適當(dāng)縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。尤其對含有若干個(gè)變元的齊次輪換式或輪換對稱式的不等式，通過換元變換形式以揭示內(nèi)容的實(shí)質(zhì)，可收到事半功倍之效。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結(jié)構(gòu)，便于進(jìn)行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡、化隱蔽為外顯的積極效果。當(dāng)a0時(shí)，f(x)=ax2+bx+c0(或0)。：引入一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)達(dá)到證明不等式的目的。：數(shù)學(xué)歸納法證明不等式在數(shù)學(xué)歸納法中專門研究。：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式。：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的。(2)“分析法”證題是一個(gè)非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)。：執(zhí)果索因。不等式的證明變化大，技巧性強(qiáng)，它不僅能夠檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的掌握程度，而且是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的一個(gè)重要標(biāo)志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。162。nx1x2Lxn163。nnx1+x2+Lxnn所以有 lnnx1x2Lxn163。162。n1，有定理1得: f(x)=lnx在(0,+165。例1[2] 已知: xxL、xn均為正數(shù)，求證: nx1x2Lxn163。(a,b)，xi=1,2,3L,n,則f(x1)+f(x2)+L+f(xn)x+x2+L+xn163。(x)0，則f(x)在[a,b]為凸函數(shù)。(x)，且f162。 定理1:設(shè)f(x)在[a,b]內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)f162。(0,1)，函數(shù)總有f[lx1+(1l)x2]163。242。0 凸函數(shù)的定義baxf(x)dx179。0即g(x)在[a,b]上單調(diào)增加，因?yàn)镕(a)=0，所以F(b)0 所以242。[f(x)f(t)]dt，a22a因?yàn)閒(x)在[a,b]上連續(xù)，且單調(diào)增加，所以g39。a2可導(dǎo)，x11bF(x)=[(xa)f(x)242。axa+xxF(x)=tf(t)dttf(t)dt，證明：設(shè)則F(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)242。F(a)=0。a2分析：可將此積分不等式中的常數(shù)b變?yōu)樽償?shù)x，利用差式構(gòu)造輔助函數(shù)：，a+xxF(x)=242。xbaxf(x)dx179。（4）根據(jù)第2 步和第3 步即可得證。(x))，再判別它的符號，利用可導(dǎo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)關(guān)系，判斷函數(shù)的單調(diào)性。證明的一般過程：（1）構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)，取定閉區(qū)間[a,b]。(x)163。(x)179。(x)=f(x)，也就是說，函數(shù)j(x)是被積函數(shù)f(x)在[a,b] 上的一個(gè)原函數(shù)。f(x)dt，x206。242。原不等式得證。242。2，于是得：222pp22(sint)cost0，再由函數(shù)的單調(diào)性得：cos(sint)=sin(p2sint)sin(cos