【正文】 金牌師資，笑傲高考1已知a≥0，b≥0，求證：1若a，b，c為正數(shù)，求證：1設(shè)a0，b0，且a+b=1，求證：(a+已知a+b+c0，ab+bc+ca0，abc0，求證：a，b，c全為正數(shù)。當(dāng)a0時(shí)|ax+b|≤|ax|+|b|=|a||x|+|b|≤|a|+|b|≤a+|b| 下面對(duì)b討論① b≥0時(shí)，a+|b|=a+b=|a+b|=|f(1)f(0)| ≤ |f(1)|+|f(0)|≤2； ② b評(píng)注：本題證明過(guò)程中，還應(yīng)根據(jù)不等號(hào)的方向，合理選擇不等式，例如：既有|ab|≥|a||b|，又有|ab|≥|b||a|，若不適當(dāng)選擇，則不能滿足題目要求。b|≤|a|+|b|，|a1177。239。a+b2ab=a+b2ab2b)(a(a+=(a2b)2ab=(a+b)b)(a8a2所證不等式可化為∵ ab0 ∴ ab ∴ ab0b)2(a2b)2(a+b)(a8b2b)2∴ 不等式可化為：(a+4ab)21(a+4bb)22236?！?x+y22≤2x2+y222∴ x+y≥(x+y)2=a22思路二：因所求不等式右邊為常數(shù)，故可從求函數(shù)最小值的角度去思考。（1）不等式的結(jié)構(gòu)與例4完全相同，處理方法也完全一樣。關(guān)鍵是消去哪個(gè)字母，因條件中已知a的不等關(guān)系：ab，ac，ad，故保留a，消b，c，d中任一個(gè)均可。3180。0，求證：f(ab)|a|f().10.（本小題滿分10分）當(dāng)a,b206。+a,b206。1++165。欲證A≥B，可將B適當(dāng)放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。：用數(shù)形結(jié)合來(lái)研究問題是數(shù)學(xué)中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時(shí)，可以考慮構(gòu)造相關(guān)幾何圖形來(lái)完成，若運(yùn)用得好，有時(shí)則有神奇的功效?；静襟E：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件。ln 222。f(1)，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=L=xn時(shí)等nn號(hào)成立。lf(x1)+(1l)f(x2)，則稱f為[a,b]的凸 12函數(shù)。(x)179。tf(t)dttf(t)dt，則要證F(b)179。（2）求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f162。[a,b]，定義的函數(shù)j(x)在[a,b]上可ax導(dǎo)，而且j162。所以推出20cos(sint)dt179。02sin(cost)dt，欲證不等ppppt206。baf(x)dx，b11，所以242。0f(x)dx179。baf(x)dx179。b1，有242。baM(ba)3f(x)dx|163。162。[f162。(x2)(bt)2]dt 2a4ab1b=242。(x2)(bt)2 24上式兩端在[a,b]上對(duì)t作積分得：242。162。(t)(xt)+f162。(a,b)。(x2)|(bx0)2+|f162。(x0)=f(b)f(a)1[f162。(x0,b)。(x0,x)2!上式中分別取x=a及b得：f(a)=f(x0)+f162。(x)|163。(x)，f162。[a,b](ba)又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有連續(xù)的二價(jià)導(dǎo)數(shù)，所以二階導(dǎo)函數(shù)f162。(x)|179。2(ba)a+b,b)時(shí)，上式取x=b，得： 2f162。162。(x)(xx0)2，即 f(x)=f(x0)+2!f162。[a,b](ba)下設(shè)f(x0)185。162。例2 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有連續(xù)的二價(jià)導(dǎo)數(shù)，且f(a)=f(b)=0，試證明：x206。162。162。(x)|，4即|f162。(x)|=max{|f162。162。162。162。(b)=0，證明：在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x使得|f162。(xx0)2dx|163。(x0)(xx0)+ab1b=|242。(x)(xx0)2 2!證明： 將f(x)在x0=f(x)=f(x0)+f162。=0，證明232。(x)0，所以f(x1)+f(x2)2f(x0)，即f(x1+x2f(x1)+f(x2)) 22若把題目中的條件f162。(x2)(x2x0)2,x2206。(x)(xx0)2 2!f(x)=f(x0)+f162。x+x2246。(x0)(xx0)2f(n)(x0)(xx0)(n)f(x)=f(x0)+f162。(x)從而得：|f(x)f(a)||f162。分析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和柯西中值定理 證明：因?yàn)間162。(x)=xa2x2xax2xax由j162?？挛髦兄刀ɡ韀1]：在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；在(a,b) 內(nèi)每一點(diǎn)處g162。求證：(2/a+c)+(2/b+c)+(2/c+a)＞(9/a+b+c)分析：∵a、b、c 均為正數(shù) ∴為證結(jié)論正確只需證：2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]＞9 而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)又 9=(1+1+1)(1+1+1)證明2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9 又 a、b、c 各不相等，故等號(hào)不能成立 ∴原不等式成立。如a+b=1，可以用a=1t，b=t或a=1/2+t，b=1/2t進(jìn)行換元。這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件。應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩端是多項(xiàng)式、分式或?qū)?shù)式時(shí)一般使用差值比較法。(2)商值比較法的理論依據(jù)是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b”。 有些不等式的證明，從正面證不好說(shuō)清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式AB，先假設(shè)A≤B，由題設(shè)及其它性質(zhì)，推出矛盾，從而肯定AB。 放縮法是要證明不等式A(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個(gè)分式大小的比較。[2]排序不等式對(duì)于兩組有序的實(shí)數(shù)x1≤x2≤?≤xn，y1≤y2≤?≤yn，設(shè)yi1，yi2，?，yin是后一組的任意一個(gè)排列，記S＝x1yn＋x2yn1＋?＋xny1，M＝x1yi1＋x2yi2＋?＋xnyin，L＝x1y1＋x2y2＋?＋xnyn，那么恒有S≤M≤L。(x)185。(x)0222。(x)|f162。(x)|=1222。(x0)(xx0)++L+2!n!(n+1)n+1f(x)(xx0)+(n+1)!其中x是x0與x之間的某個(gè)數(shù)，上式稱為f(x)按(xx0)的冪展開的n+1階泰勒公式。f(x1)+f(x2)。(x0)(xx0)+其中x是x0與x之間的某個(gè)數(shù)。(x0,x2)2!f(x2)=f(x0)+f162。162。2248。(x0)(xx0)+其中x是x0與x之間的某個(gè)數(shù)。2af162。abM(ba)3 展開點(diǎn)選取區(qū)間端點(diǎn)的情況[4]證明思想：當(dāng)條件中出現(xiàn)f162。162。(x2)(xb)2，x2206。(x2)ba2)=f(b)+f162。(x1)|163。162。162。(x)0。(x)(pc)2，x206。[a,b]max|f162。(x)|179。0，于是x0206。162。(x)|，x206。162。8|f(x0)|，x206。162。162。2AB+(ba)，其中x206。(x0)(ax0)+f162。2!f(b)=f(x0)+f162。162。162。ba2設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有二價(jià)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0，M=max|f162。162。(x2)(bt)2，x2206。ba1b1b162。f(t)dt242。162。(x1)(at)2dt|+|242。利用函數(shù)單調(diào)性證明積分不等式 利用被積函數(shù)的單調(diào)性證明方法根據(jù)——定積分性質(zhì)之一：設(shè)f(x)與g(x)為定義在[a,b]上的兩個(gè)可積函數(shù)，若f(x)163。a0af(x)dxb242。242。bf(a)179。f(x)dx0ab242。(0,)，而cos(sint)=sin(sint)，因?yàn)槭?，只需證明cos(sint)179。242。(x)=f(x)，也就是說(shuō)，函數(shù)j(x)是被積函數(shù)f(x)在[a,b] 上的一個(gè)原函數(shù)。(x))，再判別它的符號(hào)，利用可導(dǎo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)單調(diào)關(guān)系，判斷函數(shù)的單調(diào)性。F(a)=0。0即g(x)在[a,b]上單調(diào)增加，因?yàn)镕(a)=0，所以F(b)0 所以242。 定理1:設(shè)f(x)在[a,b]內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)f162。例1[2] 已知: xxL、xn均為正數(shù)，求證: nx1x2Lxn163。nx1x2Lxn163。(2)“分析法”證題是一個(gè)非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)。：引入一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)達(dá)到證明不等式的目的。相反，將A適當(dāng)縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。 235。R,a+b=1ab2.（2）已知，求證：、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：分析法證明不等式“7要證明732”時(shí)作了如下分析，只需證明________________,只需證明_________