【正文】 y+y2≤3(2)比值換元：對于在已知條件中含有若干個等比式的問題，往往可先設一個輔助未知數(shù)表示這個比值，然后代入求證式，即可。s2m2θ+cos2θcosθ1x，求證0＜A＜1證明： ∵x，y∈R+，且xy=1，x=secθ，y=tanθ，（0＜θ＜xy）∴ A=(secθ1secθ(tanθ+1tanθ(1)三角換元：是一種常用的換元方法，在解代數(shù)問題時，使用適當?shù)娜呛瘮?shù)進行換元，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成三角問題，充分利用三角函數(shù)的性質(zhì)去解決問題。例6：已知a、b、c、d都是正數(shù)求證： 1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2分析：觀察式子特點，若將4個分式商為同分母，問題可解決，要商同分母除通分外，還可用放縮法，但通分太麻煩，故用放編法。例5：已知a0，b0，2ca+b，求證：cc2ab＜a＜c+c2ab分析：觀察求證式為一個連鎖不等式，不易用比較法，又據(jù)觀察求證式等價于 ｜ac｜＜c2ab也不適用基本不等式法，用分析法較合適?！撸╝3+b3)(a2b+ab2)=a2(ab)b2(ab)=(ab)(a2b2)證明： =(ab)2(a+b)又∵(ab)2≥0a+b≥0∴(ab)2(a+b)≥0即a3+b3≥a2b+ab2例2 設a、b∈R+，且a≠b，求證：aabb＞abba分析：由求證的不等式可知，a、b具有輪換對稱性，因此可在設a＞b＞0的前提下用作商比較法，作商后同“1”比較大小，從而達到證明目的，步驟是：10作商20商形整理30判斷為與1的大小證明：由a、b的對稱性，不妨解a＞b＞0則aabbabba=aabbba=(ab)ab∵ab0，∴ab1，ab0∴(ab)ab(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba練習1 已知a、b∈R+，n∈N，求證（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）2基本不等式法利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及變形有：（1）若a、b∈R，則a2+b2≥2ab（當且僅當a=b時，取等號）（2）若a、b∈R+，則a+b≥ 2ab（當且僅當a=b時，取等號）（3）若a、b同號，則 ba+ab≥2（當且僅當a=b時，取等號）例3 若a、b∈R，｜a｜≤1，｜b｜≤1則a1b2+b1a2≤1分析：通過觀察可直接套用： xy≤x2+y22證明： ∵a1b2b1a2≤a2+(1b2)2+b2(1a2)2=1∴b1a2+a1b2≤1，當且僅當a1+b2=1時，等號成立練習2：若 ab0，證明a+1(ab)b≥33綜合法綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式性質(zhì)推算出要證明不等式?；舅枷胧前央y于比較的式子變成其差與0比較大小或其商與1比較大小。aabbcc.第二篇：證明不等式方法不等式的證明是高中數(shù)學的一個難點，題型廣泛，涉及面廣，證法靈活，錯法多種多樣，本節(jié)通這一些實例，歸納整理證明不等式時常用的方法和技巧。163。13(f(a)+f(b)+f(c))，從而a+b+ca+b+c3ln3163。162。abc, 其中a,b, 設 f(x)=xlnx,x(x)的一階和二階導數(shù)f162。248。b2n+2246。231。n+2(cosx)2nn+2即asinxn= an+2+bn+2n+2+230。n232。+231。2n+2(sinx)22nn+22230。232。231。a246。sinxcosx248。sinxcosx248。247。n+= sinx+cosx)n+2 (247。a230。n+2b246。248。2+bn+2246。231。N，求證：n+22n+22230。1n2ia229。22兩邊除以n即得．說明：兩邊乘以1n后開方得1nia229。232。232。232。ai．i=1232。1247。231。229。163。ai180。=231。229。n2246。n2246。n246。n246。i=1248。ai247。231。n246。R，i=1，2，?，n．求證：229。aibi)163。abi=11ABii)163。a2i229。nB2，K，AB163。2，2即2a1b1a21AB163。aibi即i=1AB163。aibi163。a2i=A2,229。i229。a229。ai)(229。a22nibi)163。3abc(a0,b0,c0).中原工學院 利用著名不等式證明[1516]設a1,a2,L,an是n個正實數(shù)，則a1+a2+L+an179。(3r)3(x0,y0,z0,111x+y+z=1r).令x=a,y=b,z=c,則r=(1+1+1abc)1,代入不等式有abc179。例 21 證明不等式3(1a+1b+1c)1163。x=(xy)cosx 故 sinxsiny163。(x)(ba)來證明某些不等式，例20 求證：sinxsiny163。0時，f(x)f(0)=0，從而證得ex1+x,x185。(x)0,f嚴格遞增；當x0,f162。 設f(x)=ex1x,則f162。(x),(x206。(x)163。0，則f(x)，若證f(x)163。0，則f(x)單調(diào)上升；若f162。[1314]當x屬于某區(qū)間，有f162。481當sinx=1時，f(x)min= 4163。8232。sinx247。cos2x+3sinx163。R+，且ab，求證：a+mb+m()以b為斜邊，使BD=m，延長AC至E，使ED^AD，過C作AD的平行線交DE于F，則DABC∽DADE，令CE=n，所以 a=AB=a+m又CECF，即nm，所以bACb+na+mab+ma+mb+n=中原工學院 利用函數(shù)證明不等式通過變換，把某些問題歸納為求函數(shù)的極值， 設x206。R有序，所以根據(jù)排序不等式同序和最大，即 a2+b2+c2+d2179。 求證：a2+b2+c2+d2179。a1b1+a2b2+L+anbn，其中t1,t2,L,tn是1,2,L,=a2=L=an或b1=b2=L=：反序和163。bn，則有a1bn+a2bn1+L+anb1163。b2163。L163。[11]：設a1163。z2163。z2)163。2 所以 z12180。 依題設，構造復數(shù)z1=x+yi，z2=a+bi，則z1163。1，a2+b2163。n+1n=n180。43180。1nn2180。n248。3248。2248。+1247。+1247。+1247。1246。1246。1246。2，且n206。18.，取最大值，8163。(A)的極大值點必在A==B時，f162。162。(A)=sin(C2A)，由f162。sinx1+x2+L+xnnA+：當A+B為常數(shù)時，有sinAsinB163。1+[8]形如f(x1,x2,L,xn)=sinx1sinx2Lsinxn的函數(shù)，其中0xi163。0，解得 m163。0，所以D179。1+ 設m=yax，則y=ax+m 代入x2+y2=1中得 x2+(ax+m)2=1，即(1+a2)x2+2amx+(m21)=0 因為x,y206。通過構造一元二次方程，利用關于某一變元的二次三項式有實根時判別式的取值范圍， 設x,y206。.借助三角變換， 已知：a2+b2=1，x2+y2=1，求證：ax+by163。=13(1+a+a)t22163。235。232。235。232。232。232。234。+231。234。+231。231。ab+bc+ca=231。233。230。233。230。230。R)，則c=13+(1+a)t，230。an1b+在證題過程中，以變量代換的方法，選擇適當?shù)妮o助未知數(shù)， 已知：a+b+c=1，求證：ab+bc+ca163。akb+abk，即ak+1+bk+1179。ak1b+abk1成立，則ak+1+bk+1=a(a+b)abkkk+bk+1179。an1b+（1）當n=2時，a2+b2179。N，n185。N)時成立的假設下，還能證明不等式在n=k+1時也成立， 已知：a,b206。999910000221=110001110000，所以 p[6]對于含有n(n206。32241180。L180。3422180。L180。***00022.,則 證明 令p=p212180。5656180。2134180。***b1+b2+L+bn=1180。[4]證明 因為a1+a2+L+an=1，b1+b2+L+bn=1，所以 a1+a2+L+an=1，b1+b2+L+bn=a1b1+a2b2+L+anbn163。1，故 b179。nb，則 n即baba179。=2，即 [3]+179。+0，baabbaab0，ba179。b248。247。ab=(a2179。第一篇：不等式的證明方法中原工學院 常用方法（作差法）[1]在比較兩個實數(shù)a和b的大小時，：作差——變形——判斷（正號、負號、零）.變形時常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化積、應用已知定理、 已知：a0，b0，求證：證明 a+b2a+b2179。)2ab=a+b2ab2a+b2179。0，故得 .在證題時，一般在a，b均為正數(shù)時，借助作商——變形——判斷（大于1或小于1）.例2 設ab0，求證：aabb 因為 ab0，所以 而abaab1或ab1來判斷其大小，步驟一般為：1，ab=231。232。ab1，故 aabb（逆推法）從要證明的結論出發(fā)，一步一步地推導，最后達到命題的已知條件（可明顯成立的不等式、已知不等式等）， 求證：5+71+ 要證3519+4155+71+15，即證12+23516+215，即352+15，41516，154，15 5+71+ [2]中原工學院證題時，從已知條件入手，經(jīng)過逐步的邏輯推導，運用已知的定義、定理、公式等，最終達到要證結論， 已知：a，b同號，求證：證明 因為a，b同號，所以 則abab+ba179。2ba180。由此經(jīng)過合理的邏輯推導得出矛盾，從而否定假設，導出結論的正