【正文】 30。230。．n232。2ai179。=1n因此不等式（3）成立，[1718]n例23 設(shè)ai206。b2i(229。A2+b1B2，2a22b22a22a2ABA2+b2nbna2同理163。ABi=1n229。b2i（1）i=1i=1i=1nn令 229。b2i).i=1i=1i=1證明 要證柯西不等式成立，只要證nnn 229。na1a2Lan，當(dāng)且僅當(dāng)na1=a2=L= 證明柯西不等式(229。3abc, 其中a,b, 設(shè)拉格朗日函數(shù)為對L(x,y,z,l)=xyz+l(1x+1y+1z1r).對L求偏導(dǎo)數(shù)并令它們都等于0，則有Lx=yzlx2=0，Ly=zxly2=0，Lz=xylx2=0，Ll=1x+1y+1z1r=，易的1x=1y=1z=xyz=，求出m==y=z=3r,l=(3r)+1y+1z=1r為了判斷f(3r,3r,3r)=(3r)3是否為所求條件極小值，我們可把條件看作隱函數(shù)z=z(x,y)（滿足隱函數(shù)定理條件），并把目標函數(shù)f(x,y,z)=xyz(x,y)=F(x,y)看作f與z=z(x,y)，：zx=zx22,zy=zy22，F(xiàn)x=yzyzx2,Fy=xzxzy2，中原工學(xué)院F=2yz3,F=zz2z2+2z3，xxx3xyyxxy2xz3Fyy==y=z=3r時，F(xiàn)xx=6r=Fyy,Fxy=3r，F(xiàn)2xxFyyF=27r2，所求得的穩(wěn)定點為極小值點，179。 設(shè) f(x)=sinx，則sinxsiny=(xy)sin162。(x)0,=0處連續(xù)，則當(dāng)x185。(a,b)) 19 證明不等式ex1+x，x185。g(x)，只須證f(a)=g(a)及f162。(x)179。時，f(x)max=2。2證明 f(x)=cos2x+3sinx=12sin當(dāng)sinx=+3sinx=2231。ab+bc+cd+[12]中原工學(xué)院借助幾何圖形， 已知：a,b,m206。亂序和163。L163。a2163。z12222180。1，z2163。nn+ 1+[910]++L+n(nn+11).在證明不等式時，有時通過構(gòu)造某種模型、函數(shù)、恒等式、復(fù)數(shù)等，可以達到簡捷、明快、 已知：x2+y2163。32180。232。n232。+231。230。N，求證：1+證明 因為 1+12+13+L+112+13+L+1nn(nn+11).230。(A)=0， 設(shè)A,B,C為三角形的三內(nèi)角，求證：sin證明 由標準化定理得，當(dāng)A=B=C時，sinA2=sinB2=sinA2sinC2B2=sin12C2A2sinB2sinC2163。(A)=0得 C=2A，即A= f162。p，且x1+x2+L+xn為常數(shù)，則當(dāng)xi的值之間越接近時，f(x1,x2,L,xn)[7]的值越大（或不變）；當(dāng)x1=x2=L=xn時，f(x1,x2,L,xn)取最大值，即中原工學(xué)院nf(x1,x2,L,xn)=sinx1sinx2Lsinxn163。0，即(2am)24(1+a2)(m21)179。R，且x2+y2=1，求證：yax163。13，13所以 ab+bc+ca163。3248。3248。3248。t247。at247。t247。1246。1246。1246。akb+（1）、（2），an+bn179。ab+ab=2ab，不等式成立；（2）若n=k時，ak+bk179。R+，n206。L180。5622180。34180。180。a1+a2+L+an180。1，179。2ba180。232。)2ab=a+b2ab2a+b2179。ab=(a2179。b248。=2，即 [3]+179。1，故 b179。***b1+b2+L+bn=1180。5656180。L180。L180。999910000221=110001110000，所以 p[6]對于含有n(n206。N，n185。ak1b+abk1成立，則ak+1+bk+1=a(a+b)abkkk+bk+1179。an1b+在證題過程中，以變量代換的方法，選擇適當(dāng)?shù)妮o助未知數(shù)， 已知：a+b+c=1，求證：ab+bc+ca163。230。233。233。231。234。234。232。235。235。.借助三角變換， 已知：a2+b2=1，x2+y2=1，求證：ax+by163。1+ 設(shè)m=yax，則y=ax+m 代入x2+y2=1中得 x2+(ax+m)2=1，即(1+a2)x2+2amx+(m21)=0 因為x,y206。0，解得 m163。sinx1+x2+L+xnnA+：當(dāng)A+B為常數(shù)時，有sinAsinB163。162。18.，取最大值，8163。1246。1246。+1247。2248。n248。43180。1，a2+b2163。2 所以 z12180。z2163。L163。bn，則有a1bn+a2bn1+L+anb1163。 求證：a2+b2+c2+d2179。R+，且ab，求證：a+mb+m()以b為斜邊，使BD=m，延長AC至E，使ED^AD，過C作AD的平行線交DE于F，則DABC∽DADE，令CE=n，所以 a=AB=a+m又CECF，即nm，所以bACb+na+mab+ma+mb+n=中原工學(xué)院 利用函數(shù)證明不等式通過變換，把某些問題歸納為求函數(shù)的極值， 設(shè)x206。sinx247。481當(dāng)sinx=1時，f(x)min= 4163。0，則f(x)單調(diào)上升；若f162。(x)163。 設(shè)f(x)=ex1x,則f162。0時，f(x)f(0)=0，從而證得ex1+x,x185。x=(xy)cosx 故 sinxsiny163。(3r)3(x0,y0,z0,111x+y+z=1r).令x=a,y=b,z=c,則r=(1+1+1abc)1,代入不等式有abc179。a22nibi)163。a229。a2i=A2,229。aibi即i=1AB163。nB2，K，AB163。abi=11ABii)163。R，i=1，2，?，n．求證：229。231。i=1248。n246。n2246。=231。163。231。ai．i=1232。232。22兩邊除以n即得．說明：兩邊乘以1n后開方得1nia229。N，求證：n+22n+22230。2+bn+2246。n+2b246。n+= sinx+cosx)n+2 (247。sinxcosx248。a246。232。+231。n+2(cosx)2nn+2即asinxn= an+2+bn+2n+2+230。b2n+2246。abc, 其中a,b, 設(shè) f(x)=xlnx,x(x)的一階和二階導(dǎo)數(shù)f162。13(f(a)+f(b)+f(c))，從而a+b+ca+b+c3ln3163。aabbcc.第二篇：證明不等式方法不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的一個難點，題型廣泛，涉及面廣，證法靈活，錯法多種多樣，本節(jié)通這一些實例，歸納整理證明不等式時常用的方法和技巧?！撸╝3+b3)(a2b+ab2)=a2(ab)b2(ab)=(ab)(a2b2)證明： =(ab)2(a+b)又∵(ab)2≥0a+b≥0∴(ab)2(a+b)≥0即a3+b3≥a2b+ab2例2 設(shè)a、b∈R+，且a≠b，求證：aabb＞abba分析：由求證的不等式可知，a、b具有輪換對稱性，因此可在設(shè)a＞b＞0的前提下用作商比較法，作商后同“1”比較大小，從而達到證明目的，步驟是：10作商20商形整理30判斷為與1的大小證明：由a、b的對稱性，不妨解a＞b＞0則aabbabba=aabbba=(ab)ab∵ab0，∴ab1，ab0∴(ab)ab(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba練習(xí)1 已知a、b∈R+，n∈N，求證（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）2基本不等式法利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及變形有：（1）若a、b∈R，則a2+b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取等號）（2）若a、b∈R+，則a+b≥ 2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取等號）（3）若a、b同號，則 ba+ab≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取等號）例3 若a、b∈R，｜a｜≤1，｜b｜≤1則a1b2+b1a2≤1分析：通過觀察可直接套用： xy≤x2+y22證明： ∵a1b2b1a2≤a2+(1b2)2+b2(1a2)2=1∴b1a2+a1b2≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a1+b2=1時，等號成立練習(xí)2：若 ab0，證明a+1(ab)b≥33綜合法綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式性質(zhì)推算出要證明不等式。例6：已知a、b、c、d都是正數(shù)求證： 1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2分析：觀察式子特點，若將4個分式商為同分母，問題可解決，要商同分母除通分外，還可用放縮法，但通分太麻煩，故用放編法。1x，求證0＜A＜1證明： ∵x，y∈R+，且xy=1，x=secθ，y=tanθ，（0＜θ＜xy）∴ A=(secθ1secθ(tanθ+1tanθcos2θ=sinθ∵0＜θ＜x2，∴ 0＜s2mθ ＜1因此0＜A＜1復(fù)習(xí)6：已知1≤x2+y2≤2，求證：12 ≤x2xy+y2≤3(2)比值換元：對于在已知條件中含有若干個等比式的問題，往往可先設(shè)一個輔助未知數(shù)表示這個比值，然后代入求證式，即可。用數(shù)學(xué)歸納法證題時的兩個步驟缺一不可。2k+3〈二〉(2k+2)2＞(2k+1)(2k+3)〈二〉4k2+8k+4＞4k2+8k+3〈二〉4＞3③∵③成立 ∴②成立，即當(dāng)n=k+1時，原不等式成立由（1）（2）證明可知，對一切n≥2（n∈N），原不等式成立練習(xí)8：已知n∈N，且n＞1，求證： 1n+1+1n+2+…+12n＞13249構(gòu)造法根據(jù)求證不等式的具體結(jié)構(gòu)所證，通過構(gòu)造函數(shù)、數(shù)列、合數(shù)和圖形等，達到證明的目的，這種方法則叫構(gòu)造法。2bc+b2sinA+B2+c+π322 =4sinπ3=332∴sinA+sinB≠si