高考數(shù)學數(shù)列不等式證明題放縮法十種方法技巧總結(專業(yè)版)
【正文】 法1 由（Ⅰ）知，原不等式成立．思路2 將右邊看成是關于x的函數(shù)，通過求導研究其最值來解決：法2 設，則，當時，；當時，當時，取得最大值．原不等式成立．（Ⅲ）思路1 考慮本題是遞進式設問，利用（Ⅱ）的結論來探究解題思路：由（Ⅱ）知，對任意的，有．取，則．原不等式成立．【注】本解法的著眼點是對上述不等式中的x進行巧妙賦值，當然，賦值方法不止一種，如：還可令，得 思路2 所證不等式是與正整數(shù)n有關的命題，能否直接用數(shù)學歸納法給予證明？嘗試： （1）當時，成立； （2）假設命題對成立，即則當時，有 ，只要證明；即證，即證用二項式定理（展開式部分項）證明，再驗證前幾項即可。 顯然，左端每個因式都是正數(shù)，先證明一個加強不等式： 對每個n206。例12 [簡析] 觀察的結構，注意到，展開得即，得證.例13[簡析] 本題有多種放縮證明方法，這里我們對（Ⅰ）進行減項放縮，有法1 用數(shù)學歸納法（只考慮第二步）；法2 則例14 [解析] （Ⅰ）=1 ；（Ⅱ）由得 且用數(shù)學歸納法（只看第二步）：在是增函數(shù)，則得例15 [解析] 構造函數(shù)易知在是增函數(shù)。a2例2 [簡析] 例3 簡析 不等式左邊==，故原結論成立.例4 【解析】使用均值不等式即可：因為，所以有 其實，上述證明完全可以改述成求的最大值。例17 [簡析] 令，則，應用二項式定理進行部分放縮有，注意到，則（證明從略），因此.7 轉化為加強命題放縮例18 [解析] 用數(shù)學歸納法推時的結論，僅用歸納假設及遞推式是難以證出的，因為出現(xiàn)在分母上！可以逆向考慮：故將原問題轉化為證明其加強命題：對一切正整數(shù)有（證略）例19 [簡析] 將問題一般化：先證明其加強命題 用數(shù)學歸納法，只考慮第二步：。1－（）＝1－＝1－。 探索3 探索過渡“橋”，尋求證明加強不等式：由（2）知xn≥1，由此得。（ii）假定當時命題成立，即若正數(shù)，則當時，若正數(shù)（*）為利用歸納假設，將（*）式左邊均分成前后兩段：令則為正數(shù)，且由歸納假定知 （1）同理，由得（2）綜合（1）（2）兩式即當時命題也成立. 根據(jù)（i）、（ii）可知對一切正整數(shù)n命題成立.
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