【正文】 ? ?????? ????? ??????nttt ntenttf 11limlim 2 ? ? nnenf ?????? ????? ??? ? 112 ?????? ????? nn ?? 1212 8 22221nnn ??? ???????? ?? ? ?11222 ????????? ?? nnn ?? 0? ? ? ? ? 00mi n ??? ? ftfnt 所以 ? ? ? ? 0m in112 ???????? ????? ? tfntenttf ntnt 綜合上述 當(dāng) nt? 時(shí)， tnt entnte ?? ???????? ??21 用單調(diào)極限的方法證明不等式 利用單調(diào)極限來證明不等式主要的是求函數(shù)在某一點(diǎn)的極限值，然后根據(jù)單 調(diào)函數(shù)的性質(zhì)來進(jìn)行判斷 . 利用引理 2 的引申可以來證明一些不等式，從而使證明過程簡(jiǎn)潔易懂 . 例 證明 : 當(dāng) 0?x , xt? 時(shí)，有 01 ??????? ???xtxte 分析 當(dāng) 0?t 或 xt? 時(shí) , 不等式顯然成立 . 只須證明 0?x , xt? , 0?t 的情況 , 因此只須證明 ??x 時(shí) , 有 ? ? tx extxf ???????? ?? 1 證明 (1)當(dāng) 0?x , xt? , 0?t 時(shí) , 令 ? ? xxtxf ?????? ?? 1, ? ? ? ? ? ?? ?xtxxxtxxtxfxgx lnln1ln1lnln ?????????? ????????? ??? 那么 ? ? ? ? ?????? ??????? xtxxxtxxg 11lnln39。 單調(diào)遞增 , 于是 ? ? ? ? 01139。 ?? ???? pp xpxpxf 那么 ? ? 2121 )1(111111 ?? ????????? ?????????? ??? pp xppxppxf ???????? ?????????? ??? ?? 2121 )1(111 pp xxpp 當(dāng) 10 ??x 時(shí) , ? ? 0 ?xf , 則由引理 2 得 ??xf39。 1 1112 ??????? ????????? ????? ntnt ntenten t ?????? ????????? ?????? 1112 1ntnten tnt ?????? ???????? ??????ntnten tnt 112 ???????? ?????? ??????112 ntntent 設(shè)方程 012 1 ??????? ????ntnte的根為 ? , 即 012 1 ??????? ????nne ?? 那么 ?????? ????????? ?? nnen ??? 121 通過觀察 ??tf39。 ??? ?, 1,3,2,1 ?? nk ? 5 即 ? ? ? ? ? ? ? ? ssks kssks ????????? 1111 ?, 1,3,2,1 ?? nk ? 將 k 分別用 1,3,2,1 ?n? 代入得 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?ssssssssssssssssnsnnnsnsnnnsssss1111111121121111010111111111???????????????????????????????????????????? 將上面前 1?n 個(gè)式子的左邊相加得 ? ? ? ?? ? ? ? 1112101 ??????????? ssssss nnns ? 所以 ? ? ? ?11121 1???????? ?snnn sssss ? 將上面前 n 個(gè)式子的右邊相加得 ? ? ? ?? ?ssssss nnsn ?????????? 121011 ? 綜上得 ? ?1121111?????????snnsnsssss ? 用泰勒公式證明不等式 當(dāng)涉及到二階或更高階導(dǎo)數(shù)的命題時(shí)，可考慮用泰勒公式證明不等式 .其關(guān)鍵是選擇在恰當(dāng)?shù)奶厥恻c(diǎn)（一階導(dǎo)數(shù)值的點(diǎn)、區(qū)間端點(diǎn)、最值點(diǎn)、中間點(diǎn)、平均值點(diǎn)）展開 . 例 若 ??xf 在 ? ?ba, 上二 次連續(xù)可微 , 02 ??????? ?baf, 證明 : ? ? ? ?24 3abMdxxfba???? , 其中 ? ?xfM bxa max??? 分析 要證的不等式左邊的被積函數(shù)的具體形式未知 , 而不等式的右邊出現(xiàn)了 ??xf 的形式 , 題目條件又給了 ??xf 在區(qū)間 ? ?ba, 上二次可微 , 再結(jié)合02 ??????? ?baf , 應(yīng)該利用 ??xf 在 20 bax ?? 的泰勒公式進(jìn)行證明 . 證明 函數(shù) ??xf 在 20 bax ??的泰勒公式即由引理 3 為 6 ? ? ?