積分中值定理的推廣及應(yīng)用畢業(yè)論文-在線瀏覽
2025-08-06 03:07本頁面
【正文】 …………………………9 定積分第二中值定理的推廣…………………………………………………11 第一曲線積分中值定理………………………………………………………12 第二曲線積分中值定理………………………………………………………12 第一曲面積分中值定理………………………………………………………13 第二曲面積分中值定理………………………………………………………144 第一積分中值定理中值點的漸進(jìn)性……………………………………………165 第二積分中值定理中值點的漸進(jìn)性……………………………………………206 積分中值定理的應(yīng)用……………………………………………………………23 估計積分值……………………………………………………………………23 求含定積分的極限……………………………………………………………24 確定積分號……………………………………………………………………24 比較積分大小…………………………………………………………………25 證明函數(shù)的單調(diào)性……………………………………………………………25 證明定理………………………………………………………………………257 結(jié)論………………………………………………………………………………29謝辭…………………………………………………………………………………30參考文獻(xiàn)……………………………………………………………………………311引言隨著時代的發(fā)展，數(shù)學(xué)也跟著時代步伐大邁步前進(jìn)。積分中值定理是作為微積分中的一個重要性質(zhì)出現(xiàn)在數(shù)學(xué)分析課程中的，它在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)過程占有很重要的地位，并且對于后續(xù)課程的學(xué)習(xí)也起著較大作用，在此我們就把積分中值定理及其應(yīng)用清晰論述一下。而在此我們既討論了在特殊情況下的積分中值定理，即在一個區(qū)間上的情形。并且這兩個定理在各個方面的應(yīng)用都較為廣泛，比如物理學(xué)和數(shù)學(xué)。雖然有時第一積分中值定理在處理一些積分極限問題上顯得很繁瑣，但是我們?nèi)稳豢梢园阉?dāng)作一個基礎(chǔ)定理，解決一些現(xiàn)實問題。數(shù)學(xué)家們不但將較為簡單的情況下（一個區(qū)間上）的情形論述第一、第二積分中值定理的漸進(jìn)性質(zhì)論述透徹，而且還加以推廣，包括有定積分中值定理的逆問題及其逆問題的漸近性，第一曲線型積分漸近性，甚至還將積分線由有限改為無窮的情形，他們將已有的定積分中值定理漸進(jìn)性推導(dǎo)出的結(jié)果更為一般化。課題研究的主要目標(biāo)則是通過研究和分析積分中值定理、推廣、漸進(jìn)性，將各方面的應(yīng)用如：估計積分值，求含有定積分的極限，確定積分號，比較積分大小，證明函數(shù)的單調(diào)性還有對阿貝爾判別法和狄理克萊判別法這兩個定理的證明總結(jié)出積分中值定理并把其以論文的形式整理出來。證明：因為和分別為函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，即，我們對不等式進(jìn)行積分可得，由積分性質(zhì)可知 （2－1）成立，命題得證。證明：由于，將（2－1）同時除以可得。由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理，在閉區(qū)間上至少存在一點，使得函數(shù)在點處的值與這個數(shù)相等，即應(yīng)該有，成立，將上式兩端乘以即可得到，命題得證。 積分第一中值定理定理2（第一積分中值定理）：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在上不變號，并且在上是可積的，則在上至少存在一點，使得成立。對上式在上進(jìn)行積分，可得。由于在區(qū)間上是連續(xù)的，則在上必定存在一點，使成立。 積分第二中值定理 定理3（積分第二中值定理）：如果函數(shù)在閉區(qū)間上可積，而在區(qū)間上單調(diào)，則在上至少存在一點，使下式成立 （22）特別地，如果在區(qū)間上單調(diào)上升且 ，那么存在，使下式成立 （23）如果在區(qū)間上單調(diào)下降且，那么存在，使下式成立 （24）證明：由題設(shè)條件知在區(qū)間上都是可積的，由積分性質(zhì)可知也是可積的。 對于（24）式證明是類似的，最后我們再將其推導(dǎo)到一般情形，即可證明（22）式。則，因為在上可積，且區(qū)間是有限的，所以在上有界，此時我們不妨假設(shè)。即有成立。由于函數(shù)連續(xù)，則在之間存在一點，使成立，從而有公式（23）成立，即成立，（23）式得證。對于是一般單調(diào)上升情形，我們作輔助函數(shù)，其中為單調(diào)上升且，此時公式（23）對于是成立的，即存在使成立，這就證明了公式（22）。 幾何形體上黎曼積分第一中值定理定理4（第一中值定理）：若在上黎曼可積，則存在常數(shù)使得成立，這里的介于在上的上確界和下確界之間。此時即可得到是介于和之間，從而有成立，其中為位于之間的一個數(shù)，命題得證。證明：由于函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，假設(shè)在閉區(qū)域上的最大值和最小值分別為，即。其中為閉區(qū)域的面積，我們不妨記。由于，將不等式除以可得。將上式兩邊同乘以即可得到，從而命題得證。證明：由于函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，假設(shè)在閉區(qū)域上的最大值和最小值分別為，即。由上式還可得到。由函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，則此時在上至少存在一點使得 成立。3. 積分中值定理的推廣定理7（推廣的定積分中值定理） ：如果函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，則在開區(qū)間至少存在一個點，使得下式成立。由于在閉區(qū)間連續(xù)，則在上可微，且有成立。并且有，此時即可得到下式，命題得證。證法1：由于函數(shù)在閉區(qū)間上是可積的，在上可積且不變號，令，很顯然在上連續(xù)。由柯西中值定理即可得到，即，命題得證。而函數(shù)在閉區(qū)間上可積，我們令。此時我們有下式成立（31）由于，則有，以下我們分兩種情形來進(jìn)行討論：[1]如果，由（31）式可知，則此時對于有成立。因為，則有。ii如果（32）式中僅有一個等號成立，不妨假設(shè)，因為，此時必存在（其中），使得，恒有成立，我們則可
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