【正文】 221( ) e xp22xfx??????????? ?? 則這個(gè)隨機(jī)變量就稱(chēng)為正態(tài)隨機(jī)變量，正態(tài)隨機(jī)變量服從的分布就稱(chēng)為正態(tài)分布，記作 X~N（ 2??? ），讀作服從 N（ 2??? ），或者 X服從正態(tài)分布。 最后本文總結(jié)了現(xiàn)階段正態(tài)分布的一些最基本最實(shí)用的應(yīng)用。第二個(gè)階段 是 18 世紀(jì)中葉 正態(tài)分布的模型建立， 在天文學(xué)發(fā)展的刺激下， 數(shù)學(xué)家拉普拉斯， 高斯 對(duì)于正態(tài)分布又有了新的拓展 ，讓人們逐漸認(rèn)識(shí)到了其在天文，誤差領(lǐng)域的應(yīng)用。 正態(tài)分布又 名 高斯分布， 德國(guó) 數(shù)學(xué)家高斯對(duì)于正態(tài)分布的形成 與發(fā)展有 著 舉足輕重的地位 。所以在統(tǒng)計(jì)學(xué)中對(duì)于正態(tài)分布的使用越來(lái)越廣泛。東?？茖W(xué)技術(shù)學(xué)院畢業(yè)論文 I 正態(tài)分布的發(fā)展 及應(yīng)用 摘 要 生活中諸多的經(jīng)驗(yàn)和理論都表明，我們所處的環(huán)境中服從正態(tài)分布的事件是極其常見(jiàn)的。例如：工程中的加工尺寸，人的 身 高，降雨量等都可以看做是正態(tài)分布。本文是對(duì)正態(tài)分布的發(fā)展以及應(yīng)用做一些基本的闡述。正態(tài)分布從無(wú)到有，最后成為數(shù)理統(tǒng)計(jì)中非常重要的模型 大致可分為三個(gè)階段：第一個(gè)階段是形成階段， 18 世紀(jì) 30 年代數(shù)學(xué)家狄莫弗在一個(gè)賭博問(wèn)題的概率計(jì)算中 意外 發(fā)現(xiàn)了正態(tài)曲 線，所以人們也把 正 態(tài)分布的起源歸于賭博問(wèn)題 ，但由于社會(huì)及個(gè)人的問(wèn)題，正態(tài)曲線在那時(shí)并沒(méi)都得到很大的發(fā)展。第三階段 19 世紀(jì)中葉在凱特萊， 高爾頓 的努力下，使正態(tài)分布進(jìn)入到自然和科學(xué)領(lǐng)域 ，從此進(jìn)入了統(tǒng)計(jì)學(xué)的大家庭。 【關(guān)鍵詞】 正態(tài)分布 狄莫弗 拉普拉斯 高斯 凱特萊 東?？茖W(xué)技術(shù)學(xué)院畢業(yè)論文 II Development and Application of the Normal Distribution Fengjie xue (Department of mathematics physics and information, Donghai Science amp。 正態(tài)分布的曲線 正 態(tài)分布的概率密度 函數(shù) 的曲線像一種大鐘 ，兩頭低，中間高，左右對(duì)稱(chēng)，曲線與橫軸間的面積總等于 1.。正態(tài)分布取當(dāng)值與 ? 越接近 時(shí)，概率越大；當(dāng)取值與 ? 越遠(yuǎn)是，概率越小，在取到 ? 是達(dá)到最大。 正態(tài)分布的密度函數(shù) 是對(duì)稱(chēng)函數(shù)，他的對(duì)稱(chēng)軸為 ? ，在 ? 上去的整個(gè)函數(shù)的最大值，在正負(fù)軸的無(wú)窮遠(yuǎn)處為 0，當(dāng)曲線與橫軸不相交，圖像形狀為中間高兩邊低，從最高點(diǎn) 向 兩邊均勻下降。一些重要的面積比例，橫 軸與正態(tài)曲線之間的面積恒等于 1。 [1] 東海科學(xué)技術(shù)學(xué)院畢業(yè)論文 2 正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是一般正態(tài)分布的特殊情況，既 當(dāng) ? =0， ? =1 時(shí)，正態(tài)分布就成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 ， 其概率密度函 數(shù) 21( ) e x p22xfx???????? ?? 正態(tài)分布關(guān)于豎軸對(duì)稱(chēng)，它有正態(tài)分布所有的性質(zhì)，在 實(shí)際應(yīng)用中更為簡(jiǎn)便，廣泛。主要作品有《機(jī)遇論》，與伯努力的《推測(cè)術(shù)》和拉普拉斯的《概率的分析理論》，被認(rèn)為是概率論史上三部具有里程碑性質(zhì)的作品， 1667 年生于法國(guó)維， 1754 年死于英國(guó)倫敦。在求學(xué)期間 狄莫弗 對(duì)數(shù)學(xué)有了極大的興趣，在《論賭博中的機(jī)會(huì)》《幾何原本》等一些著作的影響下，他開(kāi)始奮發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)。南特法令別摒除后，他為求生計(jì)，去了英國(guó)倫敦。 [2] 狄莫弗 對(duì)統(tǒng)計(jì)意義主要有：他用頻率估計(jì)概率，觀察值的算術(shù)平均的精度，與觀察次數(shù)N 的平方根成比例，這 對(duì)當(dāng)時(shí)來(lái)說(shuō)是一個(gè)非常大的進(jìn)步。后來(lái)統(tǒng)計(jì)學(xué)家發(fā)現(xiàn)， 許多的統(tǒng)計(jì)學(xué)中的基礎(chǔ)量 ，在樣本無(wú)限時(shí)， 他的分布都與正態(tài)分布有契合的地方， 這成為數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中大量的基本模型。 2． 1 古典統(tǒng)計(jì)時(shí)期的概率論 概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)是一對(duì) 兄弟 學(xué)科， 兩門(mén)學(xué)科一同形成完善 ， 共同創(chuàng)新并影響著，你中有我，我中有你 。我們通常把 統(tǒng)計(jì)學(xué)的 形成分成 三個(gè) 時(shí)期 ：古典統(tǒng)計(jì)時(shí)期、近代統(tǒng)計(jì)時(shí)期和現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)時(shí)期。 我們一般認(rèn)為概率論的出現(xiàn)源于 帕斯卡 和 費(fèi)馬 ，兩個(gè)偉大的數(shù)學(xué)在特殊時(shí)期的發(fā)明。當(dāng)無(wú)限次地進(jìn)行實(shí)驗(yàn)室，人們就能準(zhǔn)確的計(jì)算所有事件的 概率。在 1711 發(fā)表了關(guān)于概率論研究的論文，在 1733 年， 一個(gè)賭博問(wèn)題刺激著 狄莫弗 A,B 在賭場(chǎng)里賭 錢(qián) ， A， B 贏 概率是 p, B 贏的概率是 q=1p,賭 n 次 ， 假如 A 贏的 次 數(shù) X np, 就 A 給賭場(chǎng) Xnp 元， 不然 B 給賭場(chǎng) npX 元。從這開(kāi)始，在 拉普拉斯 等其他學(xué)者的共同發(fā)展下， 中心極限定理 最終形成，稱(chēng)為 狄莫弗拉普拉斯中心極限定理 :[3] 設(shè)隨機(jī)變量 X_n 服從參數(shù)為 p 的二項(xiàng)分布，則對(duì)任意的 x, 恒有 狄莫 弗 在二項(xiàng)分布的 推算 中 只看到 正態(tài)曲線的 外貌 ， 他未能真正看到這條曲線的迷人之處，他的研究也到此為止了。 我覺(jué)得還有 以 下原因： 首先，在那時(shí)人們隨意概率論有著偏見(jiàn)，認(rèn)為概率論的來(lái)源是賭博，人們反對(duì)將他歸入東?？茖W(xué)技術(shù)學(xué)院畢業(yè)論文 5 到科學(xué)領(lǐng)域，束縛的他的發(fā)展，那時(shí)的大數(shù)法則被推上的很高的位置，人們都無(wú)法挑戰(zhàn)鐵律 。再次，當(dāng)時(shí)除了狄莫弗，當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家對(duì)于概率論的研究都不是非常的感興趣，他所得到幫助非常少。 東?？茖W(xué)技術(shù)學(xué)院畢業(yè)論文 6 布的重新出發(fā) 人們對(duì)事物的檢測(cè)，無(wú)可避免或多或少總會(huì)出現(xiàn)一些誤差，不管是檢測(cè)哪方面的，人們很早就知道了這一點(diǎn)，不過(guò)對(duì)檢測(cè)結(jié)果的不確定性，人們總是不清楚，看法始終不能一致。 人們對(duì)概率論有了新的認(rèn)識(shí)，概率論在日常生活中的應(yīng)用也越來(lái)越多了，推動(dòng)了誤差問(wèn)題的前進(jìn)。 3． 1 天文中的誤差 天文學(xué)從古代至 18世紀(jì)一直是應(yīng)用數(shù)學(xué)中最發(fā)達(dá)的領(lǐng)域，觀測(cè) 和數(shù)學(xué)天文學(xué)，給出了建模及數(shù)據(jù)擬合的最初例子。人們對(duì)天文問(wèn)題的研究促使天文學(xué)家非常關(guān)心在數(shù)值分析是算術(shù)平均是否合理，并開(kāi)始從誤差的角度來(lái)進(jìn)行分析。 [4] 在進(jìn)行對(duì)天體觀測(cè)數(shù)據(jù)的計(jì)算過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了許多正態(tài)分布的特征，認(rèn)為在觀測(cè)中引起的誤差與在計(jì)算中 引起的誤差是不一樣的，小的觀測(cè)值變化同意可以是距離值有很大的變化。后來(lái)辛普森對(duì)誤差問(wèn)題的研究也并沒(méi)有取得很多的進(jìn)展。弗里德里希 在他 18 歲的發(fā)現(xiàn)了質(zhì)數(shù)分布定理和最小二乘法。在 這些基礎(chǔ)之上，高斯隨后專(zhuān)注于曲面與曲線的計(jì)算，并成功得到高斯鐘形曲線 ， 正態(tài)誤差理論 正式被提出 ， 在 70 年后 狄莫弗 推導(dǎo)出來(lái)的式子進(jìn)入了概率的家庭中 。 東?？茖W(xué)技術(shù)學(xué)院畢業(yè)論文 7 3． 2． 1 拉普拉斯的概率論 拉普拉斯 (1749－ 1827)是法國(guó)、數(shù)學(xué)家、分析學(xué)家、概率論學(xué)家和物理學(xué)家，法國(guó)科學(xué)院院士。他是天體力學(xué)的主要?jiǎng)?chuàng)作人，天體演化學(xué)的創(chuàng)立者之一，在概率論的發(fā)展史中，拉普拉斯是古典概率論的第一人，所以說(shuō)在數(shù)學(xué) 界他是當(dāng)時(shí)的先鋒人。書(shū)中包含了他畢生對(duì)概率論的研究成果，他用數(shù)學(xué)中的各種工具來(lái)對(duì)概率論進(jìn)行分析，對(duì)概率論的發(fā)展有著舉足輕重的作用。在概率論史上，拉普拉斯被認(rèn)為是古典概率論的集大成者，他運(yùn)用許多的分析方法，把概率論的基本理論統(tǒng)統(tǒng)做了系統(tǒng)性整理， 把概率論變成了一門(mén)系統(tǒng)的學(xué)科，為概率論的發(fā)展做出了偉大的貢獻(xiàn)。 [5] 3． 2． 2 高斯分布 在數(shù)學(xué)界我們把高斯稱(chēng)為“數(shù)學(xué)王子 ，高斯一生的研究涉及到很多的領(lǐng)域甚至他開(kāi)創(chuàng)了許多新的領(lǐng)域。高斯受拉普拉斯的影響非常深，他的概率論研究資料并沒(méi)有出版成冊(cè)，而是在他大量的論文中。拉普拉斯沒(méi)有把這個(gè)成果用到誤差分布上，而高斯做到了， 高斯 創(chuàng)造性把 正態(tài)分布 和 中心極限定理 聯(lián)系在了一起 ， 演化出了新的 中心極限定理，其中就包含 正態(tài)分布。 這 理論 對(duì)于給正態(tài)誤差論一個(gè) 非常合理 、 非東?？茖W(xué)技術(shù)學(xué)院畢業(yè)論文 8 常令人相信的解釋有巨大的 意義。 [6] 1809 年，高斯 發(fā)表了 誤差正態(tài)分布 完整理論系統(tǒng) ， 后來(lái)他又發(fā)表了 最小二乘法 ， 中心極限定理 的公式及其理論 ， 在 整個(gè)概率論的發(fā)展有著舉足輕重的作用，由于這個(gè)原因，正態(tài)分布又稱(chēng)高斯分布， 可見(jiàn)數(shù)學(xué)家 高斯 對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)界的地位 ，在高斯的所有成就中，正態(tài)分布?xì)q整個(gè)社會(huì)影響最大，這也體現(xiàn)了正態(tài)分布在概率論中的無(wú)法撼動(dòng)的地位 。 1810 年，拉普拉斯在 他日常對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)值的計(jì)算分析時(shí) ，得到了一樣的密度函數(shù)，這是對(duì)高斯函數(shù)的一次證明。貝塞爾在 1838 年非常完整的提出來(lái)了基本誤差的一般性假設(shè)，中心極限定理 有了另一只新的證明方式 。 原因有 ： 整體的誤差是由一些相互獨(dú)立的 相同量階 他們的聯(lián)合形成的 ， 如果用 算術(shù)平 均假設(shè) 和 最小二乘法 計(jì)算這個(gè)概率結(jié)果是一樣的。 同時(shí)他認(rèn)為 ，只要基本誤差互相獨(dú)立 的 ， 所有的基本誤差的方差對(duì) 誤差和的方差 有著 支配作用， 那么此時(shí)我們就認(rèn)為 正態(tài)分布 就是 實(shí)際誤差的分布 ，誤差非常小可以忽略不計(jì)。其原因就是在那時(shí)誤差論和統(tǒng)計(jì)