教案微分中值定理-資料下載頁
2025-01-06 06:45本頁面
【正文】 )()()( )( aFbF afbfFf ????? ??。 證明： 令 )()()()( )()()( xfxFaFbF afbfx ?????，顯然， (x? 在 ],[ ba 上連續(xù)，且 )(x? 在 ),( ba 內可導，更進一步還有 )()( ba ?? ? ，事實上， )()()()( )()()()()()( )()()()( afaFaFbf afbfbfbFaFbF afbfab ????????? ?? [鍵入文字 ]西安交通工程學院《高等數(shù)學》教案 6 / 7 西安交通工程學院《高等數(shù)學》課程建設組 0))()(())()(()()( )()( ??????? afbfaFbFaFbF afbf 所以 )(x? 滿足羅爾定理的條件，故在 ),( ba 內至少存在一點 ? ，使得0)( ???? ， 又 )()()()( )()()( xfxFaFbF afbfx ???????? 0)()()()( )()( ??????? ?? fFaFbF afbf 因為0)( ???F ， )()( )()()( )( aFbF afbfFf ?????? ?? 注 1： 柯西中值定理 是 拉格朗日 中值定理的推廣，事實上，令 xxF ?)( ，就得到 拉格朗日 中值定理； 2：幾何意義：若用??? ?? )( )(xFY xfX （ bxa ?? ）表示曲線 c ，則其幾何意義同前一個。 【例 4】 【例 4】 證明 2a rc c osa rc sin ??? xx （ 11 ??? x ）。 證：令 xxxf a r c c o sa r c s in)( ?? ， 01 11 1)(39。 22 ????? xxxf?， 由推論知 f(x)=常數(shù)！再由 2)0( ??f ，故 2a rc c osa rc sin ??? xx 。 【例 6】 【例 5】若方程 01110 ????? ?? xaxaxa nnn 有一個正根 0xx? ， 證明方程 0)1( 12110 ?????? ??? nnn axnanxa 必有一個小于 0x 的正根。 證明：令 xaxaxaxf nnn 1110)( ?? ????? ，在閉區(qū)間 ],0[ 0x 上滿足羅爾定理的三個條件，故 0)(39。 ??f )0( 0x??? 12110 )1()(39。 ??? ?????? nnn axnanxaxf ? 0)1( 12110 ?????? ??? nnn anana ?? 上式表明 ??x （ 00 x??? ）即為方程 01110 ????? ?? xaxaxa nnn 的根。 [鍵入文字 ]西安交通工程學院《高等數(shù)學》教案 7 / 7 西安交通工程學院《高等數(shù)學》課程建設組
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