【正文】 3 設(shè)為任意個(gè)實(shí)數(shù),證明函數(shù)在必有零點(diǎn).證明 作輔助函數(shù),則,容易驗(yàn)證在上連續(xù),在可導(dǎo),且 ,所以存在使得,在必存在零點(diǎn). 例14 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo),則的兩個(gè)零點(diǎn)間一定存在的零點(diǎn). 證明 (采用羅爾定理),則在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,由羅爾定理,存在,使得,即 ,而,故有,即的兩個(gè)零點(diǎn)間一定存在的零點(diǎn).例15 證明:若,則多項(xiàng)式在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.證明 令則,又有在連續(xù)可導(dǎo),且,滿足羅爾定理的條件,故存在使得即,結(jié)論得證.例16 若函數(shù)在上非負(fù),且三階可導(dǎo),.證明 因?yàn)榉匠淘趦?nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)根,設(shè)其分別為所以,又由于非負(fù)，根據(jù)極值定義可以知道為的兩個(gè)極值點(diǎn),所以有又因?yàn)闈M足羅爾定理，所以存在使得 ,又三階可導(dǎo)，所以滿足羅爾定理,即存在,使得 ,同樣滿足羅爾定理,則存在使得.證畢.例17 設(shè),則方程在內(nèi)有解.證明 將待證問(wèn)題轉(zhuǎn)化為中值問(wèn)題:存在使得,即,根據(jù)柯西中值定理直接得證,即方程在內(nèi)有解.例18 若函數(shù)在可導(dǎo),對(duì)與之間的任意數(shù),則在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得.證明 .作輔助函數(shù) , 與,即與 .由極限保號(hào)性,存在,使得,從而,.存在,使得 ,從而, .于是,有,即.結(jié)束語(yǔ)由上所述,我們發(fā)現(xiàn)微分中值定理的證明除了構(gòu)造輔助函數(shù),還可以利用其他的證明方法加以證明,利用微分中值定理還可以導(dǎo)出洛必達(dá)法則,(極值、最值、凹凸性)也要用到微分中值定理的結(jié)論. 深入研究微分中值定理,有助于加深對(duì)這些定理的理解。方法[M].科學(xué)教育出版社 2007致謝在論文的寫(xiě)作過(guò)程中，我得到了很多熱心人的幫助，特別是感謝宋老師以及給與我悉心的指導(dǎo)的朋友們，并引導(dǎo)我翻閱了大量的書(shū)籍，對(duì)論文進(jìn)行了多次、都使我受益匪淺，在此謹(jǐn)向宋老師致以衷心的謝意！。時(shí)空教育 . 2009(02) 166[3] 童蓓蕾。（2） 若不是常數(shù),則非單調(diào),又有在上連續(xù)在內(nèi)可導(dǎo),根據(jù)引理1,存在,使得 .證畢. 拉格朗日中值定理的新證法證明（利用分析法證明拉格朗日中值定理）要證存在使得 成立，即證,存在使得 (1) (2)記,則由滿足羅爾定理的條件知,存在使得(2)成立,進(jìn)而(1). 柯西中值定理的新證法 證明 首先構(gòu)造輔助函數(shù),由于,由費(fèi)馬定理可知,必存在 ,對(duì)于任意,其中,.又由復(fù)合函數(shù)連續(xù)性定理即含參變量函數(shù)定理可證得在閉區(qū)間上連續(xù)。s theorem目 錄0 緒論……………………………………………………………………………………11 微分中值定理及相關(guān)的概念………………………………………………………………12 微分中值定理普遍的證明方法………………………………………………………2 費(fèi)馬定理…………………………………………………………………………2 羅爾中值定理……………………………………………………………………2 拉格朗日中值定理………………………………………………………………3 柯西中值定理……………………………………………………………………43 中值定理的推廣…………