微分中值定理及其應用(大學畢業(yè)論文)-文庫吧資料
2025-07-01 02:00本頁面
【正文】 上連續(xù)，在內(nèi)可導，證明在內(nèi)方程。(唯一性)反證法，假設有兩個實根，使得，不妨設，在上對利用拉格朗日中值定理，有這與矛盾?！纠?】 在可導，且對于任何，都有，又，試證在內(nèi)，方程有唯一實根。所以，在上有三個相異的根1，1，再由羅爾定理知，在和內(nèi)至少各有一個根，所以，在上有四個相異的根1，1反復應用羅爾定理，由數(shù)學歸納法可證：在上至少有個相異的根和1（）令，則知在上至少有個相異的根，再應用一次羅爾定理，知在內(nèi)至少有個根（不含1，1）由于是次多項式，至多有個根，所以在內(nèi)恰有個相異的根。證 由高階導數(shù)的萊布尼茨公式知，函數(shù)中都含有因式，故當時，都有實根1和1。于是由羅爾定理知，至少存在一點，使，即是方程的根。證 設，上面的問題等價于的導數(shù)在內(nèi)至少有一個零點。對于這些證明題，除了運用微分中值定理這些方法外，還有三種證明技巧：一是直接證明，這種情況不多見，一般在驗證符合某定理條件后，即可定理得出結論；二是引入輔助函數(shù)，這種情況比較常見，一個般是將待為形（如拼湊重組、移項等），構成一個或兩個新的輔助函數(shù)，驗證它們符合某個中值定理，然后利用定理導出待證結論，這種方法需要一定的技巧，而技巧往往又要根據(jù)具體問題確定； 三是反證法，假設待證命題的逆例題成立，然后從推導過程中找出與已知結論（包括極限、連續(xù)、可微等級概念與法則、性質）的矛盾，從而證明原命題成立[10]。8 微分中值定理的應用微分中值定理是微分學的理論基礎，微分學的很多重要應用都建立在這個基礎上?？偟膩碚f，這三個定理既單獨存在，相互之間又存在著聯(lián)系。因為，在柯西中值定理中令，得到拉格朗日中值定理；在拉格朗日中值定理中增加條件，即得到羅爾定理。 柯西（Cauchy）中值定理假設函數(shù)和在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，則至少存在一點，使柯西中值定理的幾何意義是：滿足定理條件的由所確定的曲線上至少有一點，曲線的切線平行兩端點連線。拉格朗日公式有下面幾種等價表示形式[8]：值得注意的是，拉格朗日公式無論對于，還是都成立，而則是介于與之間的某一定數(shù)。注：定理中三個條件缺少任何一個，結論將不一定成立。中值定理有四個：羅爾(Rolle)中值定理，拉格朗日(Lagrange)中值定理，柯西（Cauchy）中值定理，泰勒（Taylor）定理。6 微分中值定理的基本內(nèi)容中值定理揭示了函數(shù)在某區(qū)間的整體性質和區(qū)間內(nèi)某一點導數(shù)之間的關系，是聯(lián)系局部和整體的紐帶，是微分學應用以及自身發(fā)展的理論基礎，因此說中值定理是微分學的基本定理[7]。由上可知，人們對微分中值定理的研究[6]大約經(jīng)歷了將近三百年時間， 從一開始的直觀到現(xiàn)在的抽象表達，從一開始的特殊形式到現(xiàn)在的一般形式，從一開始，要求的強條件到現(xiàn)在的弱條件，人們逐漸認識到微中值定理的重要性。我們現(xiàn)在看到的對一般函數(shù)的羅爾定理，是后人根據(jù)微積分理論重新表述和證明的。當然也是現(xiàn)代羅爾定理“若函數(shù)，在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且則在內(nèi)至少存在一點，使得”在多項式中的具體應用。1691年，法國數(shù)學家羅爾(公元1652——公元1719)在其發(fā)表的《方程的解法》一文中給出多項式形式的費馬定理的推廣[5]引申式——羅爾定理：“設為多項式，在多項式2的兩個相鄰根中，方程至少有一個實根。作為微積分創(chuàng)立者之一的數(shù)學家費馬在研究極小問題和極大問題的解法時，研究出“虛擬等式法”[4]——費馬定理原形。意大利著名數(shù)學家卡瓦列里(Cavalieri，公元1598——公元1674，)在《不可分量幾何學》(1635年出版)中給出的引理3有如下幾何觀點：曲線段上必有一點的切線平行于曲線的弦[3]。公元前古希臘人就知道如下結論：對于拋物線形成的弓形，過弓形頂點的切線一定平行于拋物線形成的弓形的底。[2]所以人們十分重視微分中值定理及其應用的研究。微分中值定理是研究函數(shù)性態(tài)和函數(shù)性質的重要工具，它有著明顯的物理意義和幾何意義。特別是近十年來，我國對中值定理的新證明進行了研究，僅在國內(nèi)發(fā)表的文章就近60篇。微分中值定理是數(shù)學分析乃至整個高等數(shù)學的重要理論，它架起了利用微分研究函數(shù)的橋梁。以羅爾定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是整個微分學的理論基礎，它們建立了函數(shù)值與導數(shù)值之間的定量聯(lián)系，中值定理的主要作用在于理論分析和證明；應用導數(shù)判斷函數(shù)上升、下降、取極值、凹形、凸形和拐點等項的重要性態(tài)。教科書中通常將它稱為費馬定理。4 國內(nèi)外現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢與研究的主攻方向人們對微分中值定理的研究，從微積分建立之后就開始了。通過微分學基本定理的介紹，揭示函數(shù)與其導數(shù)之間的關系，在知識結構和思想體系中，建立起應用導數(shù)進一步研究函數(shù)性質的橋梁。3 研究目的和意義 目的：本課題的主要目的是幫助學生多角度地了解微分中值定理的證明及其相關應用。微分中值定理是一系列中值定理總稱，但本文主要是以拉格朗日定理、羅爾定理和柯西定理三個定理之間的關系[13]以及它們的推廣為研究對象，利用它們來討論一些方程根（零點）的存在性, 和對極限的求解問題，以及一些不等式的證明。由此可知，對于深入的了解微分中值定理，可以讓我們更好的學好數(shù)學分析。 ApplicationVII微分中值定理的推廣及應用1 引言通過對數(shù)學分析的學習我們知道，微分學在數(shù)學分析中具有舉足輕重的地位，它是組成數(shù)學分析的不可缺失的部分。 Contact。 The Lagrange mean value theorem。 Then look at the differential mean value theorem in solving problems, such as: the discussion of the roots (ze
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