教案微分中值定理-文庫吧資料
2025-01-12 06:45本頁面
【正文】 即 xxxfy ??????? )( ? 這準(zhǔn)確地表達(dá)了 y? 和 x? 這兩個增量間的關(guān)系，故該定理又稱為微分中值定理。 注 1： 拉格朗日 中值定理是羅爾中值定理的推廣； 2：定理中的結(jié)論，可以寫成 ))(()()( abfafbf ???? ? )( ba ??? ，此式也稱為 拉格朗日 公式，其中 ? 可寫成： ( ) ( 0 1 )a b a? ? ?? ? ? ? ? ( ) ( ) ( ( ) ) ( )f b f a f a b a b a??? ? ? ? ? ? ?? (3) 若令 ,b a h?? ( ) ( ) ( )f a h f a f a h h??? ? ? ? ? ?? (4) 3：若 ba? ，定理中的條件相應(yīng)地改為： )(xf 在 ],[ ab 上連續(xù)，在 ),( ab內(nèi)可導(dǎo)，則結(jié)論為： ))(()()( bafbfaf ???? ? 也可寫成 ))(()()( abfafbf ???? ? 可見，不論 ba, 哪個大，其 拉格朗日 公式總是一樣的。 證明： 上式又可寫為 0)()()( ????? ab afbff ? ?? (1) 作一個輔助函數(shù)： )()()()()( axab afbfxfxF ????? ?? (2) 顯然， )(xF 在 ],[ ba 上連續(xù)，在 ),( ba 上可導(dǎo)，且 )()()()()()( afaaab afbfafaF ?????? )()()()()()( afabab afbfbfbF ?????? )()( bFaF ?? ，所以由羅爾中值定理，在 ),( ba 內(nèi)至少存在一點 ? ,使得 2 1 1 2 5 0.5 5 5 0.5 5 [鍵入文字 ]西安交通工程學(xué)院《高等數(shù)學(xué)》教案 4 / 7 西安交通工程學(xué)院《高等數(shù)學(xué)》課程建設(shè)組 0)( ???F 。 = 若此時，還有 )()( bfaf ? ， 0)( ??? ?f 。 2 使得定理成立的 ? 可能多于一個，也可能只有一個 . [鍵入文字 ]西安交通工程學(xué)院《高等數(shù)學(xué)》教案 3 / 7 西安交通工程學(xué)院《高等數(shù)學(xué)》課程建設(shè)組 【例 2】 證明方程 0155 ??? xx 有且僅有一個小于 1 的正實根 . 證明： 設(shè) 15)( 5 ??? xxxf , 則 )(xf 在 ]1,0[ 上連續(xù)，且 .3)1(,1)0( ??? ff 由介值定理存在 )1,0(0?x 使 0)( 0 ?xf , 即 0x 為方程的小于 1 的正實根 . 設(shè)另有
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