高數(shù)微分學(xué)與中值定理-文庫吧資料
2024-10-22 06:30本頁面
【正文】 ????),(),()( 注： 在這個公式中， f(x)的導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式中往往會有兩個變量，尤其是含有因變量 的事，畢竟原來就不能將函數(shù)關(guān)系以顯函數(shù)的方式表達(dá)出來。 ),( yxF x? 如果，在式子 F（ x， y） 中，將 y看作常量，對 F求對于自變量 x的導(dǎo)數(shù)，所得公式記為： ； ),( yxF y? 將 x看作常量，對 F求對于自變量 y的導(dǎo)數(shù)，所得公式記為： 。那么是否也可以建立某些求導(dǎo)計算法則，避免只從定義出發(fā)求導(dǎo)呢？ 4隱函數(shù)求導(dǎo)法則 ?（暫時不證明） 設(shè)有函數(shù)關(guān)系 y=f（ x） 由方程 F（ x， y） =0給出。 但是正如前面介紹初等函數(shù)的時候曾經(jīng)指出，某些重要的函數(shù)關(guān)系，不見得可以直接表示為初等函數(shù)，比如有：隱函數(shù)和參數(shù)表示的函數(shù)關(guān)系。 不過，某些初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的定義域會有一些變化，即導(dǎo)函數(shù)的定義域有可能比原函數(shù)的定義域少一些點(diǎn)。 ? 其它反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式作為練習(xí)。 【 例 220】 求反正弦函數(shù) y= arcsin x 的導(dǎo)數(shù)． 【 例 221】 求反正切函數(shù) y= arctan x 的導(dǎo)數(shù)． 【 例 】 求對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) 注：在變換過程中，注意到 y= arcsin x中的 y僅在正負(fù) /2之間，所以 cosy只取正值。只要原來的斜率不是 0，那么變換之后的切線斜率也就存在（不是無窮大）。坐標(biāo)平面上的一條曲線，若在某點(diǎn)處有切線。 3反函數(shù)求導(dǎo)法則 （注意只要求在一段區(qū)間可逆）。 我們知道，對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù)。 對數(shù)函數(shù)以及反三角函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)公式，我們還沒有給出來。 注：一般的冪函數(shù)是被看做指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的復(fù)合。需多做練習(xí)，熟練掌握。注意到注 2中所說的，不要引起混亂。 注 3：在熟練之后，計算的時候不必將中間變量都用其它變量符號表示出來。 注 2：需要特別注意導(dǎo)數(shù)符號的使用和意義，區(qū)別中間變量與初始變量。 例 【 例 215】 假設(shè)某物體沿直線運(yùn)動的規(guī)律是 S=3t 420t 3+36t 2，問該物體何時向前運(yùn)動，何時向后運(yùn)動． 證明與例 （務(wù)必熟記） （ 1）多項式函數(shù)； （ 2）正切和余切函數(shù)（附注：雙曲函數(shù)都是指數(shù)函數(shù)四則運(yùn)算得到的，其導(dǎo)數(shù)計算很簡單）； （ 3）正割和余割函數(shù)； （ 4）指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的乘積。 所以我們首先討論求導(dǎo)數(shù)與這些運(yùn)算之間有規(guī)律性的關(guān)系，給出固定的公式 即相關(guān)的運(yùn)算法則。一旦所求導(dǎo)數(shù)不在這個適用范圍之內(nèi)，我們還是要回到定義。 思考 ： 已知初等函數(shù)是由前面討論過的 四個基本初等函數(shù) 經(jīng)四則運(yùn)算、復(fù)合以及取反函數(shù)得到的（甚至得到多一些）。盡管有各種極限運(yùn)算法則，很多極限的計算（因此由定義求解導(dǎo)數(shù)的計算）還是相當(dāng)復(fù)雜繁瑣。(x)． 2 ( 0 )()( 0 )xxy f xxx? ???? ???? 例 【 例 29】 求雙曲線 在 處的切線方程與法線方程，并證明此曲線上任意一點(diǎn) 處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積等于常數(shù)． 1yx?122（ ， ）001xx（ ， ）（切線與法線方程） 第二章第一節(jié)習(xí)題（作業(yè)） ? P8990 ? 2.（ 2,3）； 3； 4； 6.（ 2）； 8； 9（ 1,3）； ? 10； 11； 12. ? 【 10； 11； 12】 . 第二節(jié) 初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)計算的初等化（計算法則） 問題 ：不難看出，由定義求解導(dǎo)數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)，本質(zhì)上就是求極限。 特別之處在于，要確定在某一點(diǎn)或某一瞬間處的值，所以便要取極限 無法擺脫的無限！ 例 【 例 210】 討論函數(shù) 和函數(shù) 在 x=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性． 11s in ( 0 )()0 ( 0 )xxfx xx???? ?? ??221s in ( 0 )()0 ( 0 )xxfx xx???? ?? ?? 2. 由定義求導(dǎo)數(shù)的例子： （ ）常值函數(shù)與恒同函數(shù) （ ）三角函數(shù) y=sinx的導(dǎo)數(shù)（ y=cosx的導(dǎo)數(shù)） （ ）指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) （ ）分段定義的函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。 無論是瞬時變化率還是斜率，先要經(jīng)過除法計算！ 在這里抽象出來的共同形式為： 差商及其極限 。 第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)定義以及由定義求導(dǎo) 概念的引入 第一個經(jīng)典問題：這個問題產(chǎn)生自力學(xué)，即如何確定（嚴(yán)格說是定義）某時刻的瞬時速度； 第二個經(jīng)典問題：這是一個與力學(xué)密切相關(guān)的幾何問題。但是如果不能將數(shù)學(xué)理論與現(xiàn)實(shí)關(guān)系聯(lián)系起來，也無法深刻理解數(shù)學(xué)理論的意義。但正是因為這一點(diǎn)，它一經(jīng)產(chǎn)生，往往會反映更多的現(xiàn)實(shí)關(guān)系，有更廣泛的應(yīng)用范圍（簡單考慮一下數(shù)）。 任何有意義的理論，當(dāng)然包括數(shù)學(xué)，是人類在解決各種問題中建立的。 但是不能忘記：數(shù)學(xué)理論的生命之源在于現(xiàn)實(shí)。僅從邏輯的角度講，極限是微積分學(xué)的“核”。
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