多元函數(shù)微分學(xué)ppt課件-文庫(kù)吧資料
2025-05-09 22:04本頁(yè)面
【正文】 為銷售產(chǎn)品作兩種方式的廣告宣傳，當(dāng)兩種方式的宣傳費(fèi)分為別為 yx , 時(shí)，銷售量為yyxxz????101005200。,( yxyxfyxF ??? ??令 ,0),(0),(),(0),(),(????????????????????yxFyxyxfFyxyxfFyyyxxx??????若這樣的點(diǎn)惟一 ,由實(shí)際問(wèn)題 ,可直接確定此即所求的點(diǎn)。1 第九章 多元函數(shù)微分學(xué) ( 下 ) 2 設(shè)空間曲線的方程 )1()()()(????????tztytx???ozyx(1)式中的三個(gè)函數(shù)均可導(dǎo) . 第六節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用 M?.),(0000tttzzyyxxM??????????對(duì)應(yīng)于。),( 0000 ttzyxM ?對(duì)應(yīng)于設(shè)? M?一、空間曲線的切線與法平面 3 考察割線趨近于極限位置 —— 切線的過(guò)程 zzzyyyxxx???????? 000t?t? t?上式分母同除以 ,t?ozyxM?? M?割線 的方程為 MM ?,000 z zzy yyx xx ????????4 ,0, 時(shí)即當(dāng) ???? tMM 得曲線在 M處的切線方程 .)()()( 000000tzztyytxx??? ????????切線的方向向量稱為曲線的 切向量 ： })(),(),({ 000 tttT ??? ?????法平面 ：過(guò) M點(diǎn)且與切線垂直的平面 , 0))(())(())(( 000000 ????????? zztyytxxt ???t?t? t?,000 z zzy yyx xx ????????5 解 例 1 )22,1,12( ?? 處的切線及法平面方程 . 點(diǎn) )22,1,12( ?? 對(duì)應(yīng)的參數(shù) 2??t , ，tx c o s1 ??? ，ty s in?? ，2c os2tz ??所以在該點(diǎn)處的切向量為 求曲線 ttx s i n?? , ty c o s1 ?? , 2s i n4 tz ? 在點(diǎn) ,}2,1,1{?T?所求 切線方程為 ,22211112/ ?????? zyx ?法平面方程為 ，0)22(2112/ ??????? zyx ?.42/2 ???? ?zyx即 6 設(shè)空間曲線方程為 ,)()(?????xgzxfy,),( 000 處在 zyxM,)()(1 00000xgzzxfyyxx???????0))(())(()( 00000 ???????? zzxgyyxfxx法平面方程為 切線方程為 7 求曲線 6222 ??? zyx ， 0??? zyx 在點(diǎn) 例 2 )1,2,1( ? 處的切線及法平面方程 . 解 將所給方程的兩邊對(duì) x求導(dǎo)并移項(xiàng)，得 ，?????????????1ddddddddxzxyxxzzxyy，011???? zyzyJ解得 Jzxxy11dd??? ，zyxz???Jxyxz11dd??? ，zyyx???,0dd ?Pxy,1dd ??Pxz8 },1,0,1{ ??T?所求切線方程為 ,1 10 21 1 ?????? zyx法平面方程為 ,0)1()2(0)1( ??????? zyx.0?? zx由此得切向量 即 9 曲面方程為 0),( ?zyxF在曲面上任取一條通過(guò)點(diǎn) M的曲線 ,)()()(:?????????tztytx???二、曲面的切平面與法線 n? T?M并設(shè) 0tt ? 時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn) M . 10 n? T?M，0)](),(),([ ?tttF ???兩邊關(guān)于 t 求導(dǎo) ,得 ，0)()()( ????????? tFtFtF zyx ???，0)()()( 000 ????????? tFtFtF MzMyMx ???所以 而 )}(),(),({ 000 ttt ??? ??? 為曲線 ? 上過(guò)點(diǎn) ),( 000 zyxM 的切向量 , 上式表明它與向量 },{ MzMyMx FFFn ??垂直 . 由于 ? 曲線在曲面上 , 故有 11 這個(gè)平面稱為曲面在該點(diǎn)的切平面 , 切平面方程為 ,0)()()( 000 ?????? zzFyyFxxF MzMyMx通過(guò)點(diǎn) ),( 000 zyxM 而垂直于切平面的直線稱為 曲面在該點(diǎn)的 法線 . 法線方程為 .000MzMyMxFzzFyyFxx ?????n? 稱為曲面的 法向量 , n? T?M由 ? 的任意性 , 曲面上所有過(guò)點(diǎn) M 的曲線的切線均在過(guò) M 且以 n? 為法向的平面上 , 12 求球面 14222 ??? zyx 在點(diǎn) )3,2,1(0M 處的切平面及法線方程 . 例 3 解 令 14),( 222 ???? zyxzyxF , 則 },{ zyx FFFn ?? ，}2,2,2{ zyx?}6,4,2{0?Mn? ，}3,2,1//{所求 切平面方程為 ，0)3(3)2(2)1( ?????? zyx.01432 ???? zyx即 所求法線 方程為 .3 32 21 1 ????? zyx13 ),( yxfz ?曲面在 M 處的切平面方程為 ,))(,())(,( 0000000 zzyyyxfxxyxf yx ???????曲面在 M處的法線方程為 .1),(),(0000000???????? zzyxfyyyxfxxyx,),(),( zyxfzyxF ??令 xx fF ??? , yy fF ??? , 1???zF , 法向量 }1,{ ???? yx ffn? , 曲面方程為 14 ))(,())(,( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx ???????切平面上點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量 的全微分在點(diǎn)函數(shù) ),(),( 00 yxyxfz ?因?yàn)榍嬖? M 處的切平面方程為 ),( yxfz ? 在 ),(
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