微分中值定理推廣及其應(yīng)用畢業(yè)論文-文庫(kù)吧資料
2025-06-30 22:55本頁(yè)面
【正文】 , , 其中所以 , 從而有界. 故.即(當(dāng)時(shí)同樣成立) , 從而, ， .故在上為常數(shù)函數(shù).在利用微分中值定理證明中值點(diǎn)的存在性問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)所證明的結(jié)論構(gòu)造輔助函數(shù)，構(gòu)造輔助函數(shù)最基本最重要的思想就是尋求原函數(shù)，而尋求原函數(shù)的方法又因所證結(jié)論不同而不同.（1）直接法這種方法的解題思路主要是根據(jù)題目所證結(jié)論中常數(shù)項(xiàng)的特點(diǎn)直接得到輔助函數(shù).例 函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明:在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得.分析：結(jié)論等號(hào)左側(cè)顯然是函數(shù)在區(qū)間兩端點(diǎn)函數(shù)值的差與區(qū)間長(zhǎng)度之商,于是聯(lián)想到對(duì)函數(shù)使用拉格朗日中值定理.證明：令，顯然在上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件.于是知：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使 得，而，即得結(jié)論 .（2） 積分法 這種方法的基本思想是利用不定積分尋求輔助函數(shù)，具體做法如下：將結(jié)論中的換成，通過(guò)恒等變形將結(jié)論化成的形式，然后用觀察或直接積分（如果不易通過(guò)觀察得到）求得原函數(shù)，積分常數(shù)取為0. 例 設(shè)函數(shù)，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：至少存在一點(diǎn)，使.分析：結(jié)論即要證明函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因結(jié)論中含有函數(shù)導(dǎo)數(shù)，故考慮利用羅爾定理， ，顯然與的導(dǎo)數(shù)有相同的零點(diǎn)，于是可取原函數(shù)為.證明：令,顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，于是由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)，使，而，故，又，于是.當(dāng)所證明的結(jié)論中出現(xiàn)二階導(dǎo)數(shù)時(shí)通?？煽紤]兩次使用中值定理證明. 泰勒公式法當(dāng)題設(shè)中出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)（三階或三階以上的導(dǎo)數(shù)）時(shí)，通?？煽紤]使用泰勒公式證明中值點(diǎn)的存在性.例 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，.試證：在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使.證明：由，得在處的二階泰勒公式為 （介于0與之間，）.由題設(shè)知 ， ，兩式相減，可得.又在區(qū)間連續(xù)，從而在上也連續(xù)，故在區(qū)間上有最大值和最小值.從而有，由介值定理知，至少存在一點(diǎn)，使得. 兩個(gè)中值點(diǎn)的情形在證明兩個(gè)中值點(diǎn)存在性的命題時(shí)，通?？煽紤]使用兩次中值定理.例 函數(shù)在上連續(xù)，在可導(dǎo)，試證:存在，使得.分析：結(jié)論中兩點(diǎn)只要存在即可，不要求一定不同，然后尋求兩個(gè)結(jié)論之間的關(guān)系.證明：令，易知與在上連續(xù)，在可導(dǎo)，且.由柯西中值定理知,存在，使得即 ，.而由拉格朗日中值定理知，存在，使得 .由以上兩式得:存在，使 即 .微分中值定理應(yīng)用
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