【正文】
)y 1y 0x 1x 0oyx 結(jié)論 由以上 程序框圖 分析可知 ,采用 Lagrange 插值法計(jì)算設(shè)備的功能重置成本 ,計(jì)算精度較高 ,方法快捷。 如右圖所示: 而拉格朗日插值多項(xiàng)式為: 0 1 10 0 1 1( ) ( ) ( ) ( )() ( ) ( ) ( ) ( )n i i nnii i i i i i i nx x x x x x x xL x y x x x x x x x x???? ? ? ?? ? ? ? ?? 令 1, 2nn??時(shí)可分別得到線性插值和拋物線插值。 x 0x 1x 2x ?? nx y 0y 1y 2y ?? ny 由圖標(biāo)關(guān)系看出功能參數(shù)與及格的函數(shù)關(guān)系為 : ()y f x? 假設(shè)在參數(shù)區(qū)間內(nèi)存在一條代數(shù)多項(xiàng)式的函數(shù)曲線,在函數(shù)曲線上所有的數(shù)值都滿足一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,用函數(shù)曲線作為 ()y f x? 的模擬曲線,這就是我們用到的 Lagrange 插值法。 拉格朗日插值在實(shí)際生活中的應(yīng)用 資產(chǎn)的評(píng)估公式 : 資產(chǎn) =重置所有價(jià)格大幅貶值 功能性貶值 經(jīng)濟(jì)性貶值的價(jià)值 它的意義在于 ,資產(chǎn)評(píng)估在利用現(xiàn)時(shí)的條件下 ,被評(píng)估的資產(chǎn)在全新狀態(tài)下的重置資本減去各種陳舊貶值后的差額作為被評(píng)估資產(chǎn)的現(xiàn)時(shí)價(jià)值。 第一步:首先我們輸入節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù) 2 第二步:我們通過算法輸入插值節(jié)點(diǎn)數(shù)( 121, 11)、( 144, 12) 第三步:我們輸入需要求出的節(jié)點(diǎn) 125 第四步:運(yùn)算求出結(jié)果(結(jié)果如下所示) 通過上述方法,我們同樣可以求出當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)為三個(gè)的時(shí)候, 125 的近似值,其計(jì)算結(jié)果如下圖所示。 在區(qū)間 11[ , ]iixx??上的圖像為: 1()ilx? ()ilx 1()ilx? ( 圖 2) 基于拋物線插值函數(shù) 11( ), ( ), ( )i i il x l x l x??可以立即得到拋物線插值多項(xiàng)式: 2 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )i i i i i iL x l x y l x y l x y? ? ? ?? ? ? 顯然它滿足條件 2 ( ) ( )j j jL x l x y? ( 1, , 1j i i i? ? ? ) 即 :1 1 1 12 1 11 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i i i ii i ii i i i i i i i i i i ix x x x x x x x x x x xL x y y yx x x x x x x x x x x x? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? 拉格朗日的數(shù)值算法計(jì)算(見附錄 1) 下面將用具體的實(shí)例 ,來演示 Lagrange 插值公式的算法 ,給出一個(gè)簡(jiǎn)單求函數(shù)逼近的例子: 已知 1 0 0 1 0 , 1 2 1 1 1 , 1 4 4 1 2???,試分別用線性插值和拋物線插值公式求出 125 的近似值。 所以: 11 1 1 1( ) ( )() ( ) ( )iii i i i ix x x xlx x x x x?? ? ? ????。 1 1 11 1 1( ) 1 , ( ) 0( , 1 )( ) 1 , ( ) 0( 1 , 1 )( ) 1 , ( ) 0( 1 , )i i i ji i i ji i i jl x l x j i il x l x j i il x l x j i i? ? ?? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ?? 例如 1()ilx? ,因?yàn)樗袃蓚€(gè)零點(diǎn) 1,iixx? ,故可以將它表示成 1()ilx? 。在節(jié)點(diǎn) 0x 和 1x 滿足以下條件: 00()1lx? , 01( ) 0lx? , 10( ) 0lx? , 11( ) 1lx? 稱函數(shù) 0()lx和 1()lx為一次插值基函數(shù)或線性插值。 ( ) 我們先令 ()iilx=1,容易求出: ? ? 10 1 1( ) ( ) ( ) ( )i i i i i i nc x x x x x x x x ???? ? ? ? ? ( ) 于是將 ( )代入到( )中可得到 0 1 10 1 1( ) ( ) ( ) ( )() ( ) ( ) ( ) ( )i i nii i i i i i nx x x x x x x xlx x x x x x x x x??? ? ? ?? ? ? ? ? ( ) 利用上述函數(shù) ()ilx,容易驗(yàn)證出: 0( ) ( )nn i jjL x y l x??? ( ) 從而滿足插值條件: ()n i iL x y? , 0,1 ,in? 存在性得證 其次證明 唯一性 : 設(shè) n 次多項(xiàng)式 ()nLx和 ()nQxLagrange 插值問題的解,則有表達(dá)式: ( ) ( ) ( )n i n i iL x Q x f x?? 0,1 ,in? 由該等式,可記 ( ) ( ) ( )nnG x L x Q x??,則有 ()nGx P? ,并且 ( ) 0iGx? , 0,1 ,in? 即 ()Gx有 1n? 個(gè)零點(diǎn), 由 高等代數(shù)上的基本知識(shí)點(diǎn)可知,如果一個(gè) n 次代數(shù)多項(xiàng)式至少存在有 1n? 個(gè)根,則它的表達(dá)式一定恒為零,因此 ( ) 0Gx? , 即 ( ) ( )nnQ x L x? 唯一性得證 線性插值和拋物線插值 線性插值 多項(xiàng)式 的定義 假定已知區(qū)間 ? ?01,xx 的端點(diǎn)處 的函數(shù)值為 00()y f x? , 11()y f x? , 并 要求線性插值多項(xiàng)式 1()Lx使它滿足以下兩個(gè)條件: 1 0 0()L x y? , 1 1 1()L x y? 1()y L x? 的幾何意義是:通過兩個(gè)點(diǎn) 00( , )xy 和 11( , )xy 的直線,如圖 1所示 1()Lx的表達(dá)式可由幾何意義直接給出: 101 0 010( ) ( )yyL x y x xxx?? ? ?? (點(diǎn)斜式) 1y 011 0 10 1 1 0() xxxxL x y yx x x x?????? (兩點(diǎn)式) 0y 由兩點(diǎn)式方程可以看出: 0x 1x 1()Lx由兩個(gè)線性函數(shù) 1001()xxlx xx?? ? , 0110()xxlx xx?? ? 的線性組合得到, (圖 1) 其中系數(shù)分別為 01,yy, 1()Lx 0 0 1 1( ) ( )l x y l x y??。 由 ()可知 ()kx k i? 是 n 次代數(shù)多項(xiàng)式 ()ilx的 n 個(gè)零點(diǎn)。 首先來證明 Lagrange 插值解的 存在性 。 在 第三章 中,將會(huì)陸續(xù)的介紹 Lagrange 中值定理 在證明不等式,求函數(shù)極限,以及研究函數(shù)在區(qū)間上性質(zhì)中的應(yīng)用。對(duì)()x? 的表達(dá)式求導(dǎo),并使 ( ) 0??? ? 對(duì)( )求導(dǎo)可得: ( ) ( )( ) ( ) f b f ax f x ba? ????? ? 當(dāng) x ?? , ( ) 0??? ? 時(shí)可得出 ( ) ( )() f b f af ba? ?? ? ? 。 可以說, 其他中值定理 則是 Lagrange 中值定理由一般到特殊的推廣 , 而 Lagrange 中值定理本身 在理論和實(shí)踐上都具有很高的研究?jī)r(jià)值,本文 主要 探討了拉格朗日定理的應(yīng)用, 并通過具體實(shí)例來證明不等式和研究函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)。利用范德蒙行列式可求解上述問題,然后得到滿足符合條件的多項(xiàng)式函數(shù)就是Lagrange 插值多項(xiàng)式。 函數(shù)插值的基本性質(zhì)是找到一個(gè)多項(xiàng)式 ()x? ,使得 ( ) , 0 ,1iix y i n? ??。除開上述點(diǎn)以外,簡(jiǎn)單連續(xù)函數(shù) ()x? 可以近似地 表示出函數(shù) ()fx。而函數(shù)逼近又分為局部逼近和整體逼近,接下來我們研究的便是函數(shù)逼近中最常用的 Lagrange 插值逼近。 關(guān)鍵詞 : 拉格朗日插值 公式 拉格朗日中值定理 函數(shù)逼近 數(shù)值算 法 區(qū)間性質(zhì) Lagrange interpolation and the application of the mean value theorem Abstract: This article in the introduction part introduces the Lagrange interpolation formula and the origin of the mean value theorem and the background, and gave the proof process. In the first part of the text introduces the Lagrange interpolation of problem in the approximation of function, and the definition of several simple interpolation, numerical calculation by Lagrange interpolation algorithms research its application in the approximation of function。 建議成績(jī)?yōu)? 指導(dǎo)教師: 2020 年 5 月 22 日 答辯簡(jiǎn)要情況及評(píng)語(yǔ) 根據(jù)答辯情況,答辯小組同意其成績(jī)?cè)u(píng)定為 答辯小組組長(zhǎng): 2020 年 5 月 24 日 答辯委員會(huì)意見 經(jīng)答辯委員會(huì)討論,同意該畢業(yè)論文 成績(jī)?cè)u(píng)定為 答辯委員會(huì)主任: 2020 年 5 月 27 日 目錄 摘 要 ........................................................................................................................................... 2 Abstract .................................................................................................................................... 2 第一章 :引 言 ..................................................................................................................... 3 插值逼近 —— Lagrange 插值 ................................................................................... 3 中值定理 —— Lagrange 中值定理 ........................................................................... 3 第二章 : Lagrange 插值 ....................................................................................................... 5 Lagrange 插值的適定性 ...................................................................