德薩格定理在初等幾何中的應用畢業(yè)論文-文庫吧資料
2025-07-03 14:14本頁面
【正文】 L共線。由于，所以N、L、M共線。證明：三點N、L、M共線。由于，所以N、L、M共線。試利用德薩格(Desargues)定理證明：三點N、L、M共線。分析：在本題的解法中，我們選擇的透視軸是一條無窮遠直線，這種情況是時有發(fā)生的，因此我們要注意，在應用德薩格定理的逆定理證明時，在選取透視軸的時候不要忽略了無窮遠直線。 在三點形PEF與QGH中，HG//AC//FE，所以HG//FE；HQ//DC//FP，所以HQ//FP；PE//AD//QG，所以PE//QG.。證法二則用的是德薩格(Desargues)定理的逆定理證的，過程相當簡潔，沒有滲入太多繁瑣的推理，解法明了易懂，大大體現(xiàn)了德薩格(Desargues)定理的逆定理在解決此類問題中的優(yōu)越性。證法2：如圖8，在三點形PQA與RSD中，對應邊交點 ∵X，B，C共線，根據(jù)德薩格(Desargues)定理的逆定理可知，其對應頂點的連線共點，即PR、QS、AD交于一點。不妨設(shè)PR與QS的交點為H，則AD與PR互為異面直線，與PR和AD共面APR矛盾。在面RPQ中X在PQ上，所以RX在面RPQ內(nèi)，又因為S是RX延長線上的一點，所以S也在面RPQ上，因此PR與QS共面RPQ。，點X在BC上，一直線通過X分別交AB、AC于P、Q，另一直線通過X，分別交DB、DC于R、S，求證：PR與QS交于AD。而證法2用的是德薩格(Desargues)逆定理證明的。證法2： ∵,對，它們的對應邊交點共無窮遠直線 ∴由德薩格(Desargues)逆定理可知其對應頂點的連線AD，BE，CF共點G。求證：AD，CF，BE相交于一點G.。(一).德薩格(Desargues)逆定理在證明共點問題上的應用。()(Desargues)定理在初等幾何中的應用 應用德薩格(Desargues)定理及其逆定理去解決一些初等幾何中的問題，關(guān)鍵在于構(gòu)造，如何去選擇兩個恰當?shù)娜c形，這是應用此定理的一個難點。應該是共線的一個點，但又是與共線的點，兩點相同就表示它應該是與的交點，故有一點使。(二) 證明過程如圖6，設(shè)兩三點形的對應頂點的連線共點，求證：對應邊的交點，共線。 任意給出直線上的3相異點則必可確定唯一解析點組使。這個類中的每組坐標叫做一個解析點，而整個坐標類[x]代表一個集合點。與第三種方法不同，此種方法還涉及到射影坐標。第四種方法第四種方法用的是高等幾何中代數(shù)的方法來證明的。(二) 證明過程如圖5，如果和的對應頂點連線、共點O，則其三對對應邊的交點P、Q、R三點共線。同理，從而 即共線四點形成的交比(AB，CD)在中心射影下不變。下面介紹交比的幾何意義：以O(shè)為中心將映成的中心射影使。此種證法依次選取A、O三個點作為射影中心，連續(xù)三次進行投影，并使用交比不變性，使命題得證,方法巧妙且簡便。被直線所截，被直線所截，被直線所截，由梅涅勞斯定理可得： ， ，(指有向線段)將上述三式相乘，則可化簡得： 由梅涅勞斯定理的逆定理知三點共線,即德薩格定理得證。證：分兩種情況，第一種在兩個不同的平面內(nèi)，此種情況的證明方法與第一種證明的方法類似，就不再贅述；第二種在同一平面內(nèi)，證明如下：如圖3，由于題設(shè)條件只提供與直線的位置關(guān)系，并沒有其他數(shù)量關(guān)系，所以考慮用梅涅勞斯(Menelaus)定理來證明。以下是具體過程：(一) 預備知識梅涅勞斯(Menelaus)定理及其逆定理 設(shè)P、Q、R分別是的三邊BC，CA，AB上或它們延長線上三點，則點P、Q、R共線的充要條件是：(二) 證明過程已知，如果它們對應頂點的連線，通過一個點S。與第一種方法相比，在證明共面的這種情況時，證法大同小異，但在證明異面的時候，方法大相徑庭，僅用了梅涅勞斯定理及其逆定理(此定理是證明三點共線的其中一個著名的定理)，找到線段比值之乘積即可，不用再構(gòu)造新的平面，牽扯到空間中的問題，只用在一個平面內(nèi)就可將問題解決。同理可證Y、Z也在平面與平面的交線上，所以X、Y、Z都在平面與平面的交線上，于是X、Y、Z共線。因為=O，所以共面，與LA相交，記為 同理， 三點形所在的平面與平面不同(例如不在內(nèi))。情況二：三點形和在同一平面內(nèi)。同理，CA與相交，與AB也相交，且相應的交點Y、Z都在二平面和的交線上。情況一：三點形和分別存在于兩個不同的平面和上，如圖1。具體過程如下：設(shè)有三點形ABC和，它們的對應頂點連線，交于一點O，其對應邊的交點為，證明：X、Y、Z在一直線上。異面的情況比較容易證明，只需利用線面關(guān)系，點線關(guān)系與點面關(guān)系，即可知三點同時落在兩個平面的交線上，則命題得證。第一種證明方法 第一種證明方法用的是初等的證明方法。如果兩個三點形的對應頂點連線共點，則這個點叫做透視中心。其實，三點形和三線形是同一種圖形，它們都含有不共線的三點，我們把它們叫做頂點，都含有不共點的三條直線，稱作邊。對偶原則是射影幾何所特有的，在射影幾何中占有重要地位，
公司管理相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1