微分中值定理的推廣及其應用畢業(yè)論文-文庫吧資料
2025-07-01 16:20本頁面
【正文】 例8 設,在連續(xù)可導,則存在使得.證明 令則,且,在上連續(xù)在內可導,根據柯西定理,存在使得,即. 利用微分中值定理證明不等式利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理證明不等式時,常將待證不等式變形為 的形式,且滿足拉格朗日或柯西定理的條件,再證明對一切的有,最后利用中值定理證明.例9 證明對任何正數、有 .證明 令,.則在上連續(xù),在內可導,根據拉格朗日中值定理,存在使得 ,由于,所以,即有 .例10 設為非線性函數,且在上連續(xù),在內可導,則存在使得 .證明 變換待證不等式為 ,其中,若結論不成立,則,故,必有,從而與已知矛盾,成立.例11 設函數在上連續(xù),在內可導,則存在,使得 .證明 若不存在,則,從而單調遞增，又由于滿足羅爾定理,則存在使得,又有,所以,存在使得 .例12 設,.證明 當時,結論顯然成立.當時,取或,在該區(qū)間上,設,根據柯西定理,有,或,即。,根據定理5可知,即.綜上所述,存在一點使得. 定理8(推廣一) 在連續(xù),在內可導,任意,.證明 作一個輔助函數,則在連續(xù),在內可導,且,所以在上滿足羅爾定理,即存在使得.因為,所以,即得.定理9(推廣二) 若在有限或無窮區(qū)間中的任意一點有有限導數和,任意,都存在,則至少存在一點使得 .證明 首先證明.假設即,根據定理5可知,.其次,作輔助函數由已知得在可導且,所以,.根據定理5可知,至少存在一點使得即. 微分中值定理的推廣定理10 設函數在上連續(xù), 在內可導,且,則在內至少存在一點,使得 .證明 根據題意,設顯然在上連續(xù), 在內可導,并且 即,所以由羅爾中值定理可知在至少存在一點使得 證畢.當上述式子中時,可得到柯西中值定理。（2） 若不是常數,則非單調,又有在上連續(xù)在內可導,根據引理1,存在,使得 .證畢. 拉格朗日中值定理的新證法證明（利用分析法證明拉格朗日中值定理）要證存在使得 成立，即證,存在使得 (1) (2)記,則由滿足羅爾定理的條件知,存在使得(2)成立,進而(1). 柯西中值定理的新證法 證明 首先構造輔助函數,由于,由費馬定理可知,必存在 ,對于任意,其中,.又由復合函數連續(xù)性定理即含參變量函數定理可證得在閉區(qū)間上連續(xù)。則至少存在一點使得.證法 利用羅爾中值定理,構造輔助函數..證明 作輔助函數,顯然,在上連續(xù), 在內可導,且,由羅爾定理可知,存在一點 使得 即.推論 設、都在區(qū)間上可導,且,則 柯西中值定理 定理4 設函數、滿足:(1) 在閉區(qū)間上連續(xù)。 (3) ,則至少存在一點使得.羅爾定理的幾何意義:若滿足羅爾定理的條件,則在曲線上至少存在一點,使得點處的切線平行于軸(如圖), 其中,.證明 由于在閉區(qū)間上連
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