【正文】 。xy162。=0yy162。zx+y+z=5r2222由于(1,l1,l2)185。0，從而原方程有非零解，及系數(shù)矩陣為0Fy162。Fz162。，即三法向量共面。2． 設(shè)f(x,y,z)=lnx+lny+3lnz。點(diǎn)3(x,y,z)在第一卦限球面3上，①求f(x,y,z)的最大值。②證明 對(duì)任意正數(shù)a,b,c成立abc230。a+b+c246。163。27231。247。5232。248。習(xí)題課y246。e230。例1 設(shè)f(xy,lnx)=231。1，求f(x,y)247。yxxeln(x)232。248。解 令xy=u，lnx=v。y246。e230。f(u,v)=f(xy,lnx)=231。1247。yxx248。eln(x)232。xx==xyxueveu2vexyxlnx=(xy)ee2lnxxylnx所以f(x,y)= 討論limxyx+174。0y174。0 解當(dāng)點(diǎn) P(x,y)沿直線y=kx趨向（0，0）時(shí)，limxyx+y2y=kxx174。0=limxkxx+kxx174。0=limkx1+kx174。0=0(k185。1)，當(dāng)點(diǎn)P(x,y)沿直線y=xxlim2xyx+y趨向（0，0）時(shí)，y=xxx174。0=lim2x(xx)x+(xx)22=lim(x1)1y=xxx174。0x174。0=1，所以limxyx+174。0y174。0 例3 236。22239。(x+y)sinz=f(x,y)=237。239。238。0在（0，0）處是否連續(xù)？1x+y22(x+y185。0)，22(x+y=0),22（1）（2）（3）（4）fx(0,0),fy(0,0)是否存在？偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y),fy(x,y)在（0，0）處是否連續(xù)？f(x,y)在（0，0）處是否可微？f(x,y)在（0，0）處是否連續(xù)，只要看limf(x,y)＝f(0,0)x174。0y174。0解（1）函數(shù) limf(x,y)=lim(x+y)sinx174。0y174。0221x+y22x174。0y174。0=limrsinr174。021r=0=f(0,0).所以f(x,y)在（0，0）處連續(xù).（2）如同一元函數(shù)一樣，(Dx)sinDx174。021(Dx)Dx1(Dx)220 limf(Dx,0)f(0,0)Dx=limDx174。0=limDxsinDx174。0=0,所以(3)fx(0,0)=0，類似地可求得fy(0,0)=(x,y)185。(0,0)時(shí)fx(x,y)=2xsin1x+y1x+y2222+(x+y)cosxx+y22221x+y22233。1234。234。2235。22x(x2+y23)249。=2xsincos1x+ 230。limfx(x,y)=lim231。2xsinx174。0x174。0231。y174。0y174。0232。1x+y22xx+y22cos246。247。+y247。248。1所以 fx(x,y)在（0，0）處不連續(xù)。同理fy(x,y)在（0，0）處也不連續(xù)（4）由于由fx(x,y),fy(x,y)在（0，0）處不連續(xù)，所以只能按定義判別f(x,y)在（0，0）(0,0)=0，fy(0,0)=0，故Dx174。0Dy174。0limDz[fx(0,0)Dx+fy(0,0)Dy](Dx)+(Dy)222[(Dx)+(Dy)]sin=limDx174。0Dy174。02221(Dx)+(Dy)220(Dx)+(Dy)(Dx)+(Dy)sin122 =lim1(Dx)+(Dy)22Dx174。0Dy174。0=limrsinDx174。0Dy174。0r=0由全微分定義知f(x,y)在（0，0）處可微，且df(0,0)=0.=f(x,y,z)，z=g(x,y)，y=h(x,t)，t 例4 設(shè)u=j(x)，求對(duì)于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)來說，哪些是中間變量，可借助于“樹圖”－1 由上圖可見，u最終是x的函數(shù)，y，z，dudx==182。f182。x182。f182。x++182。f230。182。h182。hdj246。182。f233。182。g182。g230。182。h182。hdj+++231。247。+231。234。182。y232。182。x182。tdx248。182。z235。182。x182。y232。182。x182。tdx182。f182。h182。y182。x+182。f182。hdj182。y182。tdx+182。f182。g182。z182。x+182。f182。g182。h182。z182。y182。x+246。249。247。248。.182。f182。g182。hdj182。z182。y182。tdx 從最后結(jié)論可以看出:若對(duì)x求導(dǎo)數(shù)(或求偏導(dǎo)數(shù)),有幾條線通到”樹梢”上的x,結(jié)果中就應(yīng)有幾項(xiàng),按線相乘,分線相加 例5 z=1230。2x246。247。f231。x+231。247。y248。232。1f2，f 可導(dǎo)， zx=230。1246。247。f162。231。2x+231。247。.y232。248。例6 已知y=ety+x，而t是由方程y+tx=1確定的x，y的函數(shù)，求將兩個(gè)方程對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得y162。=e(t162。y+y162。t)+12yy162。+2tt162。2x=0解方程可得2dydx=t+xye2ty2tyt+(yt) 求曲面x+2y+3z=21平行于平面x+4y+6z=曲面在點(diǎn)(x,y,z)的法向量為 n ＝(Fx,Fy,Fz)=(2x,4y,6z)，2x14y42已知平面的法向量為n1＝(1，4，6),因?yàn)榍衅矫媾c已知平面平行，所以n//n1,從而有==6z6（1）又因?yàn)辄c(diǎn)在曲面上，應(yīng)滿足曲面方程x+2y+3z=212（2）由（1）、（2）解得切點(diǎn)為(1,2,2)及(1,2,2), 所求切平面方程為：或(x1)+4(y2)+6(z2)=0(x+1)+4(y+2)+6(z+2)=012,1,1)。這里特別要指出的是不要將n//n1不經(jīng)意的寫成n=n1,從而得出切點(diǎn)為(例8 +2y+z=1上求一點(diǎn)，使函數(shù)f(x,y,z)=x+y+zel在該點(diǎn)沿l＝(1,–1,0)=231。,,0247。，2248。232。2所以 182。f182。l =182。f182。x=12182。f182。y12+182。f182。z202(xy)2(xy)在條件2x由題意，要考查函數(shù)+2y+z=1下的最大值，為此構(gòu)造拉格朗日函數(shù)222F(x,y,z)=2(xy)+l(2x+2y+z1)，14236。Fx=2+4lx=0,239。239。Fy=2+4ly=0, 237。239。Fz=2lz=0,239。222238。2x+2y+z= 1246。230。1,,0247。 231。2248。232。2 及230。11246。231。，0247。.232。22248。=2，因?yàn)樗蟮淖畲笾狄欢ù嬖冢容^182。f182。l1246。230。1231。,,0247。22248。232。182。f182。l230。11246。231。，0247。232。22248。2=2知231。230。1232。2,1246。,0247。 求函數(shù)z=x+y222在圓(x22)+(y22)163。9上的最大值與最小值.=0,zy=0，解得點(diǎn)(0,0).顯然z(0,0)=先求函數(shù)z再求z2=x+=x+y在圓上的最大、22F(x,y)=x+y+l[(x2)+(y22)9]，2236。Fx=2x+2l(x2)=0,239。239。237。Fy=2y+2l(y2)=0,239。22(x2)+(y2)=，代入（3）解得(1)(2)(3)由（1）、（2）可知x=y x=y=522，和x=y=22，230。5252z231。,231。22232。246。247。=25247。248。230。22246。247。=,231。22247。232。248。2)+(y2230。5252,231。22232。為z=25，最小值為z=(0,0)、z231。246。230。22246。247。、z231。247。三值可知：在(x,247。231。22247。248。232。248。2)163。92上，最大值第四篇：多元函數(shù)的微分學(xué)內(nèi)容小結(jié)（本站推薦）第二章 多元函數(shù)的微分學(xué)內(nèi)容小結(jié)多元函數(shù)微分學(xué)是一元函數(shù)微分學(xué)的推廣和發(fā)展，兩者的處理方法有很多相似之處．由于自變量個(gè)數(shù)的增加，多元函數(shù)的微分學(xué)又產(chǎn)生了很多新內(nèi)容，如偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)、條件極值等．本章以二元函數(shù)為主講述有關(guān)內(nèi)容．一、多元函數(shù)的定義、極限、連續(xù)及其性質(zhì)二、偏導(dǎo)數(shù)與全微分3．全微分 三、二元函數(shù)的極值四、多元微分學(xué)的幾何應(yīng)用五、方向?qū)?shù)與梯度第五篇：2015考研數(shù)學(xué)暑期復(fù)習(xí)：高等數(shù)學(xué)之多元函數(shù)微分學(xué)暑期，是考研黃金復(fù)習(xí)期。同學(xué)們要多利用這段時(shí)間夯實(shí)基礎(chǔ)，千萬不要眼高手低，無論是哪本數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)書，大家一定要去做，去看。不要一份試題放到你面前，你根本就不知道無從下手。高數(shù)中，多元部分較為重要。高等數(shù)學(xué)中有多元函數(shù)微分學(xué)，多元函數(shù)積分學(xué)。從本質(zhì)上講多元是一元的升華，相應(yīng)的理論和方法也可以從一元那里類比過來。但是多元部分也有自己的特點(diǎn)，它與一元部分也有所區(qū)別。前面我說了多元與一元有聯(lián)系，但也有區(qū)別。所以在這里，我說的深刻理解概念就是要說清楚多元函數(shù)微分學(xué)與一元函數(shù)微分學(xué)的區(qū)別以及大家需要注意的地方。那么，在多元函數(shù)微分學(xué)的知識(shí)體系中，最重要的就是對(duì)基本概念的理解。也就是要理解多元函數(shù)的極限，連續(xù)，可導(dǎo)與可微。首先，大家對(duì)極限的理解很關(guān)鍵。它與一元部分是有區(qū)別的。以二元函數(shù)為例，大家要清楚逼近方式的任意性，而一元函數(shù)中就兩個(gè)方向。所以一般考研考二元函數(shù)極限就是問大家這個(gè)極限是否存在，那么大家就選取兩個(gè)方向來說明就夠了。至于連續(xù)，把極限搞清楚了，連續(xù)就不是問題了。然后，可導(dǎo)的概念。還是以二元函數(shù)為例。二元函數(shù)有兩個(gè)變量，那么可導(dǎo)就是說的偏導(dǎo)數(shù)?；舅枷胧牵呵笠粋€(gè)變量的導(dǎo)數(shù)那么就固定另外一個(gè)變量。所以實(shí)質(zhì)上還是求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。至于可微的思想可以直接平移一元的。雖然有些變化，但是基本的形式是一樣的。最后，三者關(guān)系。這是相當(dāng)重要的一個(gè)點(diǎn)。具體來說，可微可以推出可導(dǎo)和連續(xù)，而反之不成立。希望大家不僅要記住結(jié)論，還要知道為什么是這樣的關(guān)系。大家通過自己推一推就可以準(zhǔn)確的把握這三個(gè)概念了。在大家深刻理解了這些概念后，后面的內(nèi)容就偏向計(jì)算了。在前面，我說了對(duì)基本概念理解的重要性。那么，說完概念，這章考查的重點(diǎn)還是計(jì)算。計(jì)算實(shí)質(zhì)上就是多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用。它主要包括偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；方向?qū)?shù)與梯度；二元函數(shù)極值(無條件與條件)。其實(shí)考查計(jì)算對(duì)大家來說是最容易的考法。因?yàn)榇蠹抑灰椒ň蛪蛄?，不用理解方法怎么來的。具體來說，計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)，特別是高階偏導(dǎo)數(shù)，大家只要掌握了鏈?zhǔn)椒▌t就夠了。同時(shí)掌握下高階導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無關(guān)的條件。至于計(jì)算方向?qū)?shù)與梯度，大家就需要知道它的含義，然后記住兩個(gè)公式就行了。最后是二元函數(shù)的極值。它分為無條件極值和有條件極值。先說無條件極值。大家可以把它跟一元函數(shù)極值做個(gè)類比。這樣會(huì)學(xué)的輕松些。至于條件極值，大家只要會(huì)了拉格朗日乘數(shù)法就行了。所以，這章對(duì)大家的計(jì)算能力要求很高。大家一定要沉下心仔細(xì)體會(huì)方法，然后多做練習(xí)就夠了。在大家理解了基本概念以及明確了計(jì)算方法后，接下來就需要做題鞏固了。在這里，我尤其反對(duì)題海戰(zhàn)術(shù)，因?yàn)榇蠹业臅r(shí)間有限并且題海戰(zhàn)術(shù)在沒理解知識(shí)點(diǎn)之前是沒用的?，F(xiàn)在社會(huì)做事情都講究高效，我希望大家能夠事半功倍。那么針對(duì)多元函數(shù)微分學(xué)這章，大家先針對(duì)我說的重點(diǎn)知識(shí)進(jìn)行做題鞏固，關(guān)鍵是每做一個(gè)題就要理解，要反思，要多想想考察了知識(shí)點(diǎn)那些方面。然后對(duì)次重點(diǎn)知識(shí)輔助做一些題，了解就夠了。