[理學(xué)]多元函數(shù)微分學(xué)習(xí)題課-資料下載頁(yè)
2024-12-08 00:50本頁(yè)面
【正文】 z x y x y z y fy? ? ? ?設(shè) 是 由 方 程 確 定 的.f dz隱 函 數(shù) ， 其 中 可 微 ， 求解 2 2 2( , , ) ( ) ,zF x y z x y z y fy? ? ? ?設(shè) 則xF?? 2xyF?? 2 ( )zyfy? ()zyfy?? 2zy?? 2 ( ) ( )z z zy f fy y y?? ? ?zF?? 12 ( )zz y fyy??? 2 ( )zzfy???因此 zx? ??xzFF???2( ) 2xzfzy?? ?yzFzyF???? ??2 ( ) ( )( ) 2z z zy f fy y yzfzy????? ?......dz ?sin ( , ) ( 0 , 1 )yze x z e x y? ? ? ?方 程 在 點(diǎn) 附 近 確 定 了 一 個(gè)12. ( , ) , ( 0 , 1 ) , ( 0 , 1 ) , ( 0 , 1 ) .x y x yz z x y z z z? ? ???可 微 的 隱 函 數(shù) 求解 0 , 1x y z? ? ?把 代 入 方 程 得0，x方 程 兩 邊 同 時(shí) 關(guān) 于 求 偏 導(dǎo) ， 得sin c o s 0yz xxe z z x z z? ??? ? ? ? ?解得 s inc o sx yzzze x z?? ? ?( 0 ,1 ) 0xz? ?y方 程 兩 邊 同 時(shí) 關(guān) 于 求 偏 導(dǎo) ， 得yze ? ? (1 )yz?? c os 0yx z z ?? ? ?c o syzy yzezx z e??? ? ? (0 ,1)yz? ?1010ee???1??解得 si nc o sx yzzzye x z?? ? ?對(duì) 兩 邊 同 時(shí) 關(guān) 于 求 偏 導(dǎo) ， 得s in()c o sxy yzzzy e x z??? ???2c o s ( c o s ) s in { ( 1 ) s in }( c o s )y z y zy y yyzz z e x z z e z x z ze x z???? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?( 0 ,1)xyz? ? 2(0 ,1)yzee? 1e??13. 2223, , .1z x y d y d zd x d xx x y z? ????? ? ???設(shè) 求解 x方 程 組 兩 邊 分 別 關(guān) 于 求 導(dǎo) ， 得232 2 0d z d yxd x d xd y d zx y x zd x d x??????? ? ? ? ???整 理 得322 ( 2 )d z d yxd x d xd z d yz x x yd x d x??????? ? ? ? ???解 得23( 2 )132xx y xdzdxzx?????24 6 36x x yxz????122 ( 2 )132xz x ydydxzx????246x y x zxz?????例 7. 22( , 0 )( , ) 2 , ( , 1 ) 0 , s inf f xz f x y x f x xyy??? ? ? ?設(shè) 滿 足( , ).f x y求解 22 2f xy? ??由 得fy? ??故 ( , )f x y ?故 ( , 1 ) ( ) ( )f x x x x??? ? ?0?( , 0 )fxy? ??0( 2 ( ) ) yx y x? ??()x?? sin x?由 上 兩 式 解 得( ) si nxx? ? ， ( ) si nx x x? ? ? ?因 此2( , ) sin sinf x y x y y x x x? ? ? ?2 ( )x y x??2 ( ) ( )x y x y x????之間的最短距離．與平面求旋轉(zhuǎn)拋物面 2222 ????? zyxyxz例 6 解 .2261,022,),(22??????????zyxddzyxPyxzzyxP的距離為到平面則上任一點(diǎn)為拋物面設(shè)分析 : 最?。辞沂?jié)M足，使得本題變?yōu)榍笠稽c(diǎn)))22(61(22610,),(2222???????????zyxdzyxdzyxzyxzyxP),()22(61),( 222 yxzzyxzyxF ??????? ?令???????????????????????????????????)4(,)3(,0)2)(22(31)2(,02)22(31)1(,02)22(3122yxzzzyxFyzyxFxzyxFzyx??.81,41,41 ??? zyx解此方程組得得 .64 7241414161m i n ?????d),81,41,41(即得唯一駐點(diǎn)處取得最小值．駐點(diǎn)，故必在一定存在，且有唯一根據(jù)題意距離的最小值)81,41,41(14. ( ) ( sin )xf u z f e y?設(shè) 有 二 階 連 續(xù) 導(dǎo) 數(shù) ， 且 滿 足 方 程22222 , ( ) .xzz e z f uxy?? ???? 求 的 表 達(dá) 式解 zx? ??( si n ) si nxxf e y e y? ?22zx? ??2( s i n ) ( s i n )xxf e y e y?? ? ( si n ) si nxxf e y e y???zy? ??( si n ) c osxxf e y e y? ?22zy? ??2( sin ) ( c o s )xxf e y e y?? ? ( si n ) si nxxf e y e y???故 2222zzxy??????2( s i n )xxf e y e?? 2 ( s i n )xxe f e y?由 此 即 得( sin ) ( sin )xxf e y f e y?? ?即 ( ) ( )f u f u?? ?其 特 征 方 程 為 2 10? ?? ， 1? ?特 征 根 為 =故 此 微 分 方 程 的 通 解 為12() uuf u C e C e ??? 12( CC， 為 任 意 常 數(shù) )2( s i n )xxf e y e?? 2 ( s i n )xxe f e y?解 ?,),(0000222222模此方向?qū)?shù)等于梯度的具有什么關(guān)系時(shí)的方向?qū)?shù)，問(wèn)的向徑處沿點(diǎn)在點(diǎn)求cbarzyxMczbyaxu ???例 4 ? ? , 2020202200 0 zyxrzyxr ?????.c o s,c o s,c o s000000rzryrx ??? ???處的方向?qū)?shù)為在點(diǎn) M???? c o sc o sc o s0MMMM zuyuxuru???????????002000200020 222rzczrybyrxax ??? )(22222220000czbyaxr ???.),(2 202020000 zyxzyxu???處的梯度為在點(diǎn) M?kzujyuixug r a d u MMMM ?????????,222 2 02 02 0 kc zjb yiax ???,2 424242000czbyaxg r a d uM ???,時(shí)當(dāng) cba ?? ,2 2222 000 zyxagr ad u M ????,2)(2202022202022222000000zyxazyxzyxaruM ??????????,0MM g r a d uru ????., 模此方向?qū)?shù)等于梯度的相等時(shí)故當(dāng) c
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