[理學(xué)]多元函數(shù)微分學(xué)習(xí)題課-展示頁
2024-12-17 00:50本頁面
【正文】 )(22222220000czbyaxr ???.),(2 202020000 zyxzyxu???處的梯度為在點 M?kzujyuixug r a d u MMMM ?????????,222 2 02 02 0 kc zjb yiax ???,2 424242000czbyaxg r a d uM ???,時當(dāng) cba ?? ,2 2222 000 zyxagr ad u M ????,2)(2202022202022222000000zyxazyxzyxaruM ??????????,0MM g r a d uru ????., 模此方向?qū)?shù)等于梯度的相等時故當(dāng) cba。)(。第七章 習(xí)題課 ? 主要內(nèi)容 ? 典型例題 平面點集 和區(qū)域 多元函數(shù) 的極限 多元函數(shù) 連續(xù)的概念 極 限 運 算 多元連續(xù)函數(shù) 的性質(zhì) 多元函數(shù)概念 主要內(nèi)容 全微分 的應(yīng)用 高階偏導(dǎo)數(shù) 隱函數(shù) 求導(dǎo)法則 復(fù)合函數(shù) 求導(dǎo)法則 全微分形式 的不變性 微分法在 幾何上的應(yīng)用 方向?qū)?shù) 多元函數(shù)的極值 全微分 概念 偏導(dǎo)數(shù) 概念 一、 基本概念 連續(xù)性 偏導(dǎo)數(shù)存在 方向?qū)?shù)存在 可微性 1. 多元函數(shù)的定義、極限 、連續(xù) ? 定義域及對應(yīng)法則 ?求極限及判斷極限不存在的方法 ? 函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì) 2. 幾個基本概念的關(guān)系 問題： 1求極限，判斷函數(shù)極限存在性 函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)存在性、可微性的判別 例 1 解 .)(lim 2200 yxxxyyx ????求極限)0(,s i n,c os ??? ????? yx令.0)0,0(),( ?? ?等價于則 yx????? c o s)c o s( s i n)(0 222?????yxxxy???? c os)c os( s i n ?? ,2??.0)(l i m 2200????? yxxxyyx故注意 : 在某些情況下可以利用極坐標(biāo)求極限 , 但要注意在定義域內(nèi) r , ? 的變化應(yīng)該是任意的 . 例 2. 討論 221a r c ta n , ( , ) ( 0 , 0 )( , )0 ( , ) ( 0 , 0 )x x yf x y xyxy???? ??? ?? 在點 (0,0) 處的連續(xù)性，偏導(dǎo)數(shù)的存在性及可微性 . 解 由于當(dāng) ( , ) ( 0 , 0)xy ?221| a r c ta n |2xy???時， 故 00l im ( , )xyf x y??? 22001l im a r c ta nxyxxy?? ?0? (0 , 0 )f?所以 ( , ) ( 0 , 0) .f x y函 數(shù) 在 點 連 續(xù)221a r c ta n , ( , ) ( 0 , 0)( , )0 ( , ) ( 0 , 0)x x yf x y xyxy???? ??? ?? 偏導(dǎo)數(shù) ( 0 , 0 )xf ? ?0( , 0 ) ( 0 , 0 )l imxf x fx??2011l im ( a r c ta n )xxxx???201l im a r c ta nx x?? 2??( 0 , 0 )yf ? ?0( 0 , ) ( 0 , 0 )l imyf y fy??00limy y??0?可微性 ( 0 , 0)在 點 處 ，( 0 , 0) ( 0 , 0)xyz f x f y??? ? ? ? ?221a r c ta n( ) ( )xxy??? ? ?2x???221( a r c ta n )2( ) ( )xxy?? ? ?? ? ?( 0 , 0) ( 0 , 0)xyz f x f y??? ? ? ? ?221( a r c ta n )2( ) ( )xxy?? ? ?? ? ?因此 ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 )xyz f x f y???? ? ? ? ??1( a r c ta n )2x ???? ?由于 01l im ( a r c ta n )2???? ?0?故 0( 0 , 0 ) ( 0 , 0 )l im xyz f x f y? ????? ? ? ? ?0?( , ) ( 0 , 0)f x y因 此 函 數(shù) 在 點 可 微 .二、多元函數(shù)微分法 顯示結(jié)構(gòu) 隱式結(jié)構(gòu) 1. 分析復(fù)合結(jié)構(gòu) (畫變量關(guān)系圖 ) 自變量個數(shù) = 變量總個數(shù) – 方程總個數(shù) 自變量與因變量由所求對象判定 2. 正確使用求導(dǎo)法則 “鏈?zhǔn)椒▌t ” 注意正確使用求導(dǎo)符號 3. 利用一階微分形式不變性 問題：求偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù) (多元復(fù)合函數(shù)、隱含數(shù)求導(dǎo)方法 ) 例 3 解 .,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz????????求，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)設(shè))1( 213 xfxfxyz ?????? ,2214 fxfx ????)1()1( 222121211422xfxfxxfxfxyz ??????????????,2 22123115 fxfxfx ?????????xyzyxz??????? 22)]([2)]([4222212221211413xyfyfxxfxyfyfxfx?????????????????? )(2214 fxfxx ??????.24 22114213 fyfyxfxfx ??????????P92 例 1例 9 (P92. 1) ))1,1(,1()1( ff??1)(dd 3?xxx ?1)1,1( ?? f1dd)(3 2?? xxx???3? )),(,(1 xxfxf ?? ?)),(,(2 xxfxf ?? ? 1?x??3 51?,1)1,1( ?f,)),(,()( xxfxfx ??,2)1,1(??? xf求 在點 處可微 , 且 設(shè)函數(shù) ,3)1,1(??? yf解 : 由題設(shè) ?2 ??3 ?)32( ?() 解 .,0),(,s i n,0),(),( 2dxduzfxyzexzyxfu y求且，具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)設(shè)?????????,dxdzzfdxdyyfxfdxdu ?????????? ,c os xdxdy ?顯然,dxdz求 得的導(dǎo)數(shù)兩邊求對 ,0),( 2 xzex y ??,02 321 ???????? dxdzdxdyex y ???.)c o s2(1c o s 2s i n13 zfxexyfxxfdxdu x?????????????? ???故于是可得 , ),c o s2(1 2s i n13??? ??????? xexdxdz x（ P93 4.） ( , , ) ( , , )kf tx ty tz t f x y z?如 果 函 數(shù) 關(guān) 系 式 恒 滿 足則 稱 此 函( , , )k f x y z試 證 : 次 齊 次 函 數(shù) 滿 足 關(guān) 系 式( , , )f f fx y z k f x y zx y z? ? ?? ? ?? ? ?證 , , ,u tx v ty w tz? ? ?記 方 程t兩 邊 對 求 導(dǎo) 得 1kf f fx y z k t fu v w?? ? ?? ? ?? ? ?t兩 邊 同 乘 以 得 kf f f
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