【正文】 182。+yf2162。2x+f2162。u182。y2。u182。u182。0Dx22=0，同理fy162。(0,0)x+y=022 解 fx162。0，求fx162。0238。22f(x,y)=237。（3）236。u182。u182。u182。u182。u182。u182。u182。z2。y2+182。x22+182。y22=0；（2）u=lnx+y+z2182。z182。z182。z182。248。247。1xy232。x+y1+231。z182。y。z182。z182。z182。z182。Fz162。z182。Fz162。v248。247。u246。z182。v)=du177。v162。u162。v162。u162。dx+v162。ydy)+fv162。(u162。du+fv162。v182。f182。u182。f182。z182。v182。f182。u182。f182。z182。y248。=fyy(x,y).2247。182。182。231。182。y182。y248。==f(x,y),yx247。z182。y246。x232。231。182。y182。182。182。x182。x248。x232。247。247。182。182。z182。z246。230。y=fy(x,y)，則這兩個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)z=f(x , y)的二階2偏導(dǎo)數(shù)。x2=fx(x,y),182。182。162。162。162。162。連續(xù)三、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(x , y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)222。237。(1,0)=1二、可微，偏導(dǎo)數(shù)存在，連續(xù)的關(guān)系236。{n重 解 f(x,0)=x，fx162。x(x0,y0)時，（因此可能簡化函數(shù)）再對xy0可先代入，求導(dǎo)例 f(x,y)=x+arctany(x+arctany(x+Larctany)L)，求fx162。(x0,y0)，就是曲面z=f(x,y)與平面y=，偏導(dǎo)fy(x0,y0)的幾何意義是曲面z=f(x,y)與平面x=x0的交線在點M 2 基于如上理由，求處的切線M0Ty對y軸的斜率.182。022y22x+y=0 偏導(dǎo)數(shù)與高階導(dǎo)數(shù) 偏導(dǎo)數(shù)一、概念說明對x求導(dǎo)視z=f(x,y)，y=limf(x+Dx,y)f(x,y)DxDx174。x22=12limxx174。0x+y1xy+1+1182。0 解原式=limxy2222x174。0 例3 求極限limxy+11x+y2222x174。x174。0其值隨k去不同值而取不同值。0x+kx=limk1+k2x174。0=limxkx62336x174。623623x174。0y174。f(x,y)=x+y+[(xy)(xy)]，即 f(x,y)=(xy)+2y例2 證明極限limxyx+y623不存在。三、例題 例1 設(shè)f(x,y)=x+y+g(xy)，已知f(x,0)=xf(x,0)=x+g(x)=x222，求f(x,y)的表達式。即p174。(x0,y0)limf(x,y)=f(x0,y0)，(Dx,Dy)174。(x0,y0)y0)時的極限，記作y0)), lim f(x,y)=A或f(x，y)→A((x，y)→(x0,也記作P174。0 , (x,y)在點(0 , 0)不全面連續(xù)但在點(0 , 0): 全增量、: 運算性質(zhì)、局部有界性、局部保號性、復(fù)合函數(shù)連續(xù)性.第二篇：多元函數(shù)微分學(xué)復(fù)習(xí)第六章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用 多元函數(shù)的基本概念 一、二元函數(shù)的極限定義 f(P)= f(x，y)的定義域為D, oP0(x0,y0)，對于任意給定的正數(shù)e，總存在正數(shù)d，使得當(dāng)點P(x，y)∈D199。 ,例1 設(shè)f(x,y)=237。m , x2+y2=+m2證明函數(shù)f(x,y)在點(0 , 0)沿方向y= , 0yx2, 165。x+y例1 設(shè)f(x,y)=237。0 ,22239。/⑵、二元函數(shù)的連續(xù)性（一）二元函數(shù)的連續(xù)概念：236。x0y174。/二重極限存在.(參閱例4和例8).綜上, 二重極限、 2 若全面極限(x,y)174。(0,0)lim1=+165。(x0,y0)lim其他類型的非正常極限，(x,y)174。(0,0)xyx+yf(x,y)=+165。(0,0)limxy+11ln(1+x2+y2)。(x,y)174。(0,0)limsinxyx2ylim。時，證明極限limf(x,y)不(x,y)174。1,0,當(dāng)0yx2,165。例5 設(shè)f(x,y)=237。0 ,(x,y)=(0,0).238。x+y 證明極限limf(x,y)不存在.(x,y)174。(0,0),239。D 236。P0,數(shù)列{f(Pn)}P174。對D內(nèi)任一點列{ Pn },Pn174。P0P206。E2但A1185。E1P174。D,(P)=A1,limf(P)=A2，P174。P0P206。P0P206。D推論1 設(shè)E1204。對D的每一個子集E ,只要點P0是E的聚點,就有l(wèi)imf(P)=174。P0P206。 證明(x,y)174。x2+y2239。(0,0),239。0236。(2,1)lim(x2+xy+y2)=7.[1]P94 = 用“ed”定義驗證極限 lim2x174。x0y174。D(x,y)174。ⅱ f(x,y)=(yx2+1)二、二元函數(shù)的極限（一）.二元函數(shù)的極限: (P)=A的定義: 也可記為P174。(x1x2)2+(y1y2)2163。E, : 確定集E={(x,y)|: 1163。b}.⑸ 簡單域:: 圓鄰域和方鄰域，圓鄰域內(nèi)有方鄰域，, 空心方鄰域與集{(x,y)|0|xx0|d , 0|yy0|d}的區(qū)別.（二）點集的基本概念: 、外點和界點：集合E的全體內(nèi)點集表示為intE, 邊界表示為182。2asinq}.⑷ 角域: {(r,q)|a163。1}.⑶ 圓域: 開圓, 閉圓, , 特別是 {(r,q)|r163。ax+b}等.⑵ 矩形域: [a,b]180。第一篇：多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)的極限與連續(xù)一、平面點集與多元函數(shù)（一）平面點集:平面點集的表示: E={(x,y)|(x,y)滿足的條件}.:⑴ 全平面和半平面: {(x,y)|x179。0}, {(x,y)|x0}, {(x,y)|xa}, {(x,y)|y179。[c,d], {(x,y)|x|+|y|163。2acosq}和{(r,q)|r163。q163。, 外點207。(x1)2+(y+2)24 }的內(nèi)點、外點集、=E時稱E為開集,、閉區(qū)域、區(qū)域：: (E)：兩點的距離r(P1 , P2).：|x1x2|（或|y1y2|）163。 |x1x2|+|y1y2|.（三）二元函數(shù): 、記法、圖象： ： 例4 求定義域：ⅰ f(x,y)=: : 9x2y2x2+y21。P0P206。(x0,y0)limf(x,y)=A或x174。y0limf(x,y)=A例1 用“ed”定義驗證極限(x,y)174。0x+y2y174。x2y2,(x,y)185。xy例3 設(shè)f(x,y)=237。0 ,(x,y)=(0,0).238。(0,0)limf(x,y)=0.(用極坐標變換)P174。ETh 1 limf(P)=A219。P0P206。D,(P)不存在, 則極限limf(P)174。E1P174。D推論2 設(shè)E1,E2204。P0P206。P0P206。A2,則極限limf(P)174。D推論3 極限limf(P)存在219。P0但Pn185。P0P206。xy ,(x,y)185。22收斂 例4 設(shè)f(x,y)=237。(0,0)239。(考慮沿直線y=kx的方向極限).236。238。x+165。(0,0) 求下列極限: ⅰ(x,y)174。ⅱ。(3,0)yx2+y2 ⅲ(x,y)174。ⅳ (x,y)174。的定義: 3． 極限(x,y)174。 驗證(x,y)174。.222x+3yEx[1]P99—100 1⑴—⑹，4，5.（二）累次極限:: 設(shè)f(x,y)=xy, 求在點(0 , 0)+yx2y2例9 設(shè)f(x,y)=2, 求在點(0 , 0)+y例10 設(shè)f(x,y)=xsin11+ysin, 求在點(0 , 0) :⑴ 兩個累次極限存在時, 可以不相等.(例9)⑵ 兩個累次極限中的一個存在時, (x,y)=xsin1y在點(0 , 0)的情況.⑶ 二重極限存在時, 兩個累次極限可以不存在.(例10)⑷ 兩個累次極限存在(甚至相等)222。(x0,y0)limf(x,y)和累次極限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在,則x174。 二重極限和兩個累次極限三者都存在時, : 兩個累次極限存在但不相等時, : 兩個累次極限中一個存在,另一個不存在222。xy22 , x+y185。239。239。x+165。([1]P101)238。 U(P0,d)，即0|P0P|(xx0)+(yy0)d22時，都有|f(P)–A|=|f(x，y)–A|e成立，那么就稱常數(shù)A為函數(shù)f(x，y)當(dāng)(x，y)→(x0，(x,y)174。P0limf(P)=A或f(P)→A(P→P0)為了區(qū)別于一元函數(shù)的極限，、二元函數(shù)的連續(xù)性(x,y)174。(0,0)limDz=0如果函數(shù)f(x , y)在D的每一點都連續(xù)，那么就稱函數(shù)f(x , y)在D上連續(xù)，或者稱f(x , y)(x , y)在點P0(x0,y0)不連續(xù)，則稱P0(x0,y0)為函數(shù)f(x , y)、差、積仍為連續(xù)函數(shù)；連續(xù)函數(shù)的商在分母不為零處仍連續(xù)；多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)。p0limf(P)=f(P0).有界性與最大值最小值定理 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，必定在D上有界， 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取復(fù)介于最大值和最小值之間的任何值。2解 由題設(shè)，有g(shù)(x)=xx2，于是。x174。0 證 當(dāng)(x,y)沿三次拋物線y=kx3趨于(0,0)時，有l(wèi)imxyx+yxyx+y。0y174。0y174。0y174。故極限lim不存在。0y174。0y174。0y174。z182。0y174。0為常數(shù)，幾何意義也說明了這個問題二元函數(shù)z=f(x , y)在點M0(偏導(dǎo)數(shù)數(shù)x0,y0)162。z182。(1,0)。(x,0)=1，fx162。偏導(dǎo)數(shù)存在可微222。238?？晌?，162。fxy和162。fyx都連續(xù)，則162。fxy=162。fyx。z182。z182。按照對變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù)：182。182。182。230。z246。z=f(x,y),==fxy(x,y),231。=231。xx2182。182。182。y232。x248。x182。230。z231。182。182。182。247。182。182。x2230。z231。232。y246。z247。=182。2四、偏導(dǎo)數(shù)，微分運算公式 1．z 2．dz =f(x,y)，u=u(x,y)，v=v(x,y)182。x=182。u182。x+182。v182。x182。y=182。u182。y+182。v182。y=fu162。dv=fu162。dx+u162。(v162。ydy)xx=(fu162。+fv162。)dx+(fu162。y+fv162。y)dyxxd(u177。dvd(uv)=udv+vdu182。x=2230。vduudvd231。=2v232。3．F(x,y,z)=0 確定z=z(x,y)，F(xiàn)x162。；182。y2=Fy162。 求偏導(dǎo)數(shù)算例 例1（1）z=arctanx+y1xy，求182。x，182。y，182。x22，182。x182。解 182。x=1230。231。=11+y2246。247。21(1xy)(x+y)(y)(1xy)=11+x2由對稱性 182。y2，182。x22=22x(1+x)，求22；21