【正文】 zxxF1162。=F2162。+=1yF1162。z182。+=yzF2162。)dy dz=F2162。+1xF1162。+F2162。(dy+zy2F1162。d(y+zx2；解（2）方程兩邊取微分 F1162。+F2162。+yF2162。zyy ==11182。xyF2162。162。248。247。248。yx182。=0 231。1+2231。F1162。231。+F162。182。1182。yz247。182。+F2162。+yF2162。zxx==11182。+F2162。+2F2162。248。248。247。247。247。x231。182。+F2162。1+182。=0 F1162。231。231。z246。230。z246。y。x，182。]dy例5 設(shè)z=z(x,y)由方程F(x+zy,y+zx)=0，確定，F(xiàn)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，求182。f2162。yx2xdyydxx1x2f3162。=[f1162。(dx+dy)+f2162。解（2）du=f1162。xdyydxd(x+y)+f2162。dy xx+f3162。f1162。+f2162。du=234。249。y故y1249。x248。；182。231。+f2162。(1)+f3162。=f1162。182。ydy182。xdx+182。1xy3 du=182。yx2g162。g162。例4 u=f(x+y,xy,x解（1）182。f12f=f1162。162。162。2f2162。+162。y1yy1162。xyx182。21+y234。162。162。162。x+f12162。162。1249。z1249。x248。x248。182。231。2247。y+f2162。230。y246。x248。x182。247。y246。4xyf11例3182。162。162。+2yf2162。+2x2yf12162。+2xy[f112162。162。162。x]+2yf2162。(2y)+f12162。y162。u182。+yf2162。2x+f2162。u182。y2。u182。u182。0Dx22=0，同理fy162。(0,0)x+y=022 解 fx162。0，求fx162。0238。22f(x,y)=237。（3）236。u182。u182。u182。u182。u182。u182。u182。z2。y2+182。x22+182。y22=0；（2）u=lnx+y+z2182。z182。z182。z182。248。247。1xy232。x+y1+231。z182。y。z182。z182。z182。z182。Fz162。z182。Fz162。v248。247。u246。z182。v)=du177。v162。u162。v162。u162。dx+v162。ydy)+fv162。(u162。du+fv162。v182。f182。u182。f182。z182。v182。f182。u182。f182。z182。y248。=fyy(x,y).2247。182。182。231。182。y182。y248。==f(x,y),yx247。z182。y246。x232。231。182。y182。182。182。x182。x248。x232。247。247。182。182。z182。z246。230。y=fy(x,y)，則這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)z=f(x , y)的二階2偏導(dǎo)數(shù)。x2=fx(x,y),182。182。162。162。162。162。連續(xù)三、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(x , y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)222。237。(1,0)=1二、可微，偏導(dǎo)數(shù)存在，連續(xù)的關(guān)系236。{n重 解 f(x,0)=x，fx162。x(x0,y0)時(shí)，（因此可能簡(jiǎn)化函數(shù)）再對(duì)xy0可先代入，求導(dǎo)例 f(x,y)=x+arctany(x+arctany(x+Larctany)L)，求fx162。(x0,y0)，就是曲面z=f(x,y)與平面y=，偏導(dǎo)fy(x0,y0)的幾何意義是曲面z=f(x,y)與平面x=x0的交線在點(diǎn)M 2 基于如上理由，求處的切線M0Ty對(duì)y軸的斜率.182。022y22x+y=0 偏導(dǎo)數(shù)與高階導(dǎo)數(shù) 偏導(dǎo)數(shù)一、概念說(shuō)明對(duì)x求導(dǎo)視z=f(x,y)，y=limf(x+Dx,y)f(x,y)DxDx174。x22=12limxx174。0x+y1xy+1+1182。0 解原式=limxy2222x174。0 例3 求極限limxy+11x+y2222x174。x174。0其值隨k去不同值而取不同值。0x+kx=limk1+k2x174。0=limxkx62336x174。623623x174。0y174。f(x,y)=x+y+[(xy)(xy)]，即 f(x,y)=(xy)+2y例2 證明極限limxyx+y623不存在。三、例題 例1 設(shè)f(x,y)=x+y+g(xy)，已知f(x,0)=xf(x,0)=x+g(x)=x222，求f(x,y)的表達(dá)式。即p174。(x0,y0)limf(x,y)=f(x0,y0)，(Dx,Dy)174。(x0,y0)y0)時(shí)的極限，記作y0)), lim f(x,y)=A或f(x，y)→A((x，y)→(x0,也記作P174。第一篇：多元函數(shù)微分學(xué)復(fù)習(xí)第六章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用 多元函數(shù)的基本概念 一、二元函數(shù)的極限定義 f(P)= f(x，y)的定義域?yàn)镈, oP0(x0,y0)，對(duì)于任意給定的正數(shù)e，總存在正數(shù)d，使得當(dāng)點(diǎn)P(x，y)∈D199。 U(P0,d)，即0|P0P|(xx0)+(yy0)d22時(shí)，都有|f(P)–A|=|f(x，y)–A|e成立，那么就稱常數(shù)A為函數(shù)f(x，y)當(dāng)(x，y)→(x0，(x,y)174。P0limf(P)=A或f(P)→A(P→P0)為了區(qū)別于一元函數(shù)的極限，、二元函數(shù)的連續(xù)性(x,y)174。(0,0)limDz=0如果函數(shù)f(x , y)在D的每一點(diǎn)都連續(xù)，那么就稱函數(shù)f(x , y)在D上連續(xù)，或者稱f(x , y)(x , y)在點(diǎn)P0(x0,y0)不連續(xù)，則稱P0(x0,y0)為函數(shù)f(x , y)、差、積仍為連續(xù)函數(shù)；連續(xù)函數(shù)的商在分母不為零處仍連續(xù)；多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)。p0limf(P)=f(P0).有界性與最大值最小值定理 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，必定在D上有界， 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取復(fù)介于最大值和最小值之間的任何值。2解 由題設(shè)，有g(shù)(x)=xx2，于是。x174。0 證 當(dāng)(x,y)沿三次拋物線y=kx3趨于(0,0)時(shí)，有l(wèi)imxyx+yxyx+y。0y174。0y174。0y174。故極限lim不存在。0y174。0y174。0y174。z182。0y174。0為常數(shù)，幾何意義也說(shuō)明了這個(gè)問(wèn)題二元函數(shù)z=f(x , y)在點(diǎn)M0(偏導(dǎo)數(shù)數(shù)x0,y0)162。z182。(1,0)。(x,0)=1，fx162。偏導(dǎo)數(shù)存在可微222。238?？晌ⅲ?62。fxy和162。fyx都連續(xù)，則162。fxy=162。fyx。z182。z182。按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)：182。182。182。230。z246。z=f(x,y),==fxy(x,y),231。=231。xx2182。182。182。y232。x248。x182。230。z231。182。182。182。247。182。182。x2230。z231。232。y246。z247。=182。2四、偏導(dǎo)數(shù)，微分運(yùn)算公式 1．z 2．dz =f(x,y)，u=u(x,y)，v=v(x,y)182。x=182。u182。x+182。v182。x182。y=182。u182。y+182。v182。y=fu162。dv=fu162。dx+u162。(v162。ydy)xx=(fu162。+fv162。)dx+(fu162。y+fv162。y)dyxxd(u177。dvd(uv)=udv+vdu182。x=2230。vduudvd231。=2v232。3．F(x,y,z)=0 確定z=z(x,y)，F(xiàn)x162。；182。y2=Fy162。 求偏導(dǎo)數(shù)算例 例1（1）z=arctanx+y1xy，求182。x，182。y，182。x22，182。x182。解 182。x=1230。231。=11+y2246。247。21(1xy)(x+y)(y)(1xy)=11+x2由對(duì)稱性 182。y2，182。x22=22x(1+x)，求22；2182。x182。u182。u182。u182。解182。x=122x222x+y+z=xx+y+z22，2 182。x由對(duì)稱性 22=2x+y+zx2x(x+y+z)22222222222=x+y+z2222222222(x+y+z)22182。y222=+xy+z222，182。z1222(x+y+z)182。y22=x+yz2(x+y+z)2故 182。x2+182。z22=x+y+z222。xy239。x+y239。Dx022x+y185。(0,0)，fy162。(0,0)=limDx+0Dx174。(0,0)=0；182。x，例2 u=yf(xy,xy)，求182。x182。解 182。x22=y[f1162。y]=2xyf1162。182。x182。162。162。+y2[f21162。(2y)+f22162。x] =2xf1162。162。162。2y3f21162。+xy2f22162。 =2xf1162。z230。z=f(xy,)+g231。求182。yx232。y2解y246。230。=f1162。231。+g162。2247。x232。232。2182。1y233。233。162。162。162。162。=f1162。f11ffx+f22222234。x182。xx235。235。162。162。162。3f22162。2g162。+xyf11xxxxxy)，求du。z1xx2g162。162。162。u182。u182。u1y246。u230。+f2162。=f1162。+f3162。2247。xx232。182。233。233。f1162。2f3162。dx+234。f2162。235。235。d(xy)+f3162。2x=f1162。(dxdy)+f3162。+f2162。]dx+[f1162。+f3162。z182。z182。解（1）方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)182。230。182。xz247。247。247。231。x247。231。x2y247。231。231。231。232。232。zyzF1162。xyF1162。182。xxF1162。F1162。yx；方程兩邊對(duì)y求導(dǎo)230。z246。231。z246。y247。230。247。231。2247。247。y232。231。232。zxz162。FFF162。122182。yxF1162。F1162。yxzy)+F2162。d(x+)=0)+F2162。(dx+ydzzdyyzx2xdzzdxx2)=0(F1162。)dx+(1yF1162。F2162。xyF1162。； 則 182。xF1162。+zx12F2162。xyF1162。+yF2162。；182。xxxF1162。dydxx 例6 設(shè)y=f(x,t)，t=t(x,y)由F(x,y,t)=0確定F,f可微，求。dy=fx162。dt237。162。238。dxft162。dx+Fy162。則 Fx162。fx162。Fx162。+