【正文】 而成，按 多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法 ： 2 2uvz f u f v y f x y fx u x v x x? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?， 21uvz f u f v f x fy u y v y x? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 由 ( , )f uv 為 ,uv的函數(shù)，所以 ,uvff??仍為以 ,uv為中間變量，以 ,xy為自變量的函數(shù)，故 2 22 2 3( 2 ) 2( ) 2 ( ) 2uv u u v vuvy f x y f f f f fz y u v y u vxf x y y fx x x u x v x x u x v x? ???? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 3 22( 2 ) 2 ( 2 ) 2u u u v u v u v v vy y y yf f x y f x y f f x y y fx x x x? ? ????? ?? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 22 224 2 342 42u u u v u v v vy x y yf f f x y f y fx x x ???? ?? ??? ? ? ? ?（ f 具連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù) uv vuff? ?? ） 2 222( 2 ) 1( ) 2 ( ) 2uv u u v vuvy f x y f f f f fz y u v u vxf x y x fx y y x u y v y x u y v y? ???? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 22221 1 1( ) 2 ( ) 2u u u v u v u v v vy f f x f x y f f x x fx x x x? ???? ?? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 332 1 22u u u v u v v vy f y f f x y f x fxx? ???? ?? ??? ? ? ? ?（ f 具連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù) uv vuff? ?? ） 與書后答案不同 22221() 1( ) ( )uv u u v vf x f f f f fz u v u vx xy y x u y v y u y v y???? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 21 1 1( ) ( )u u u v v u v vf f x x f f xx x x?? ?? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ? 421 2uu uv vvf xf x fx ?? ?? ??? ? ?（ f 具連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù) uv vuff? ?? ） ★★★ ( , )z f x y? 二次可微 ，且 c o s , sinuux e v y e v??，試證： 2 2 2 222 2 2 2()uz z z zex y u v?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? 知識(shí)點(diǎn) ：多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 思路 ：在本題中將函數(shù)看為 ,uv的函數(shù)時(shí)， ,xy是中間變量的角色。按鏈?zhǔn)椒▌t對(duì)自變量 ,uv求導(dǎo)即得右邊；將函數(shù)看為 ,xy的函數(shù)時(shí)按求導(dǎo)法則即得左邊。 證 ： c o s s in 。 s in c o su u u ux y x yzzf e v f e v f e v f e vuv??? ? ? ?? ? ? ? ?； 22 ( c o s ) ( sin )c o s ( c o s sin ) c o s sin ( c o s sin ) sinuux u y uu u u u u u u ux x x y x y x y y yz f e v f e vue v f e v f e v f e v e v f e v f e v f e v? ? ? ? ?????? ?? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? 2 2 2 2c os 2 sin c os sin c os sinu u u u ux x x y y y x xe v f e v v f e v f f e v f e v?? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? （ f 二次可 微，故 xy yxff? ?? ） 22 ( sin ) ( c o s )sin ( ( sin ) c o s ) c o s c o s ( ( sin ) c o s ) sinuux v y vu u u u u u u ux x x y x y x y y yz f e v f e vve v f e v f e v f e v e v f e v f e v f e v? ? ? ? ?? ? ???? ?? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2sin 2 sin c os c os c os sinu u u u ux x x y y y x ye v f e v v f e v f f e v f e v?? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? （ f 二次可微，故 xy yxff? ?? ）；又 22 2222 uuxx yyzz e f e fuv?? ?? ??? ? ? 故 左邊 2222()uuzzeeuv????? ? ? 222222()uux x y y zze f e f xy???? ??? ? ? ?右邊，得證。 ★★★ ( ) ( )u x x y y x y??? ? ? ?，其中函數(shù) ,??具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，驗(yàn)證： 2 2 22220u u ux x y y? ? ?? ? ?? ? ? ?。 證 ： 令 v x y?? ，則 ( ) ( ) ( )u v x v y vx ? ? ?? ??? ? ?? ； ( ) ( ) ( )u x v v y vy ? ? ?? ??? ? ?? ； 22 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )u v v x v y v v x v y vx ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ?? ??? ? ? ? ? ? ?? 2 ( ) ( ) ( ) ( )u v x v v y vxy ? ? ? ?? ? ?? ? ??? ? ? ??? 22 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )u x v v v y v x v v y vy ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ?? 故 2 2 22220u u ux x y y? ? ?? ? ?? ? ? ?，得證。 167。 隱函數(shù)微分法 內(nèi)容概要 隱 函 數(shù) 微 分 分類 法則 一個(gè)方程情形 若二元方程 ( , ) 0F x y ? 確定一元隱函數(shù) ()y f x? ，則 xyFdydx F?? 若三元方程 ( , , ) 0F x y z ? 確定二元隱函數(shù) ( , )z f x y? ，則 , yxzzFFzzx F y F??? ? ? ? 方程組情形 若方程組 ( , , , ) 0( , , , ) 0F x y u vG x y u v ??? ??確定二元函數(shù) ( , ), ( , )u u x y v v x y?? 則 ,x v u xx v u xu v u vu v u vF F F FG G G GuvF F F FxxG G G G??? ? ? ?， ,y v u yy v u yu v u vu v u vF F F FG G G GuvF F F FyyG G G G??? ? ? ? 課后習(xí)題全解 習(xí)題 85 ★★ 22ln a rc ta n yxy x?? ，求 dydx 。 知識(shí)點(diǎn) ： 隱函數(shù)求導(dǎo)。 思路 ： 設(shè) 左端函數(shù)為 ( , )Fxy ，先求出 ,xyFF，代入 xyFdydx F?? 。 解 ： 設(shè) 22( , ) l n a r c ta n yF x y x y x? ? ?， 2 2 2 2 221 2 1( , ) ( )2 1 ( )xx y x yF x y yx y x x yx?? ? ? ? ????， 2 2 2 221 2 1 1( , )2 1 ( )yy y xF x y yx y x x yx?? ? ? ???? 所以 xyFdy y xdx F y x?? ? ? ? 注 ： 本題也可通過一元函數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則求解。 ★★ 2 2 0x y z xyz? ? ? ?，求 ,zzxy???? 解 ： 方法一 。 （應(yīng)用隱函數(shù)存在定理公式 , yxzzFFzzx F y F??? ? ? ?） 設(shè) ( , , ) 2 2F x y z x y z x y z? ? ? ?， 1 , 1 , 1x y zy z x z x yF F Fx y z x y z x y z? ? ? ? ? ?， 故 11xzyzx y z y z x y zFzxyxF x y z x yxyz? ??? ? ? ? ?? ??；11yzxzF x y z x z x y zzxyyF x y z x yxyz? ??? ? ? ? ?? ??。 方法二 ： （在方程兩邊對(duì)自變量求偏導(dǎo) ，注意變量 z 為 ,xy的函數(shù) ） 方程兩邊同時(shí)對(duì)自變量 x 求偏導(dǎo)，得： 1 ( ) 0zxyz yzxx xyz xyz???? ? ? ?? ，整理可得： (1 ) 1xy z yzxxyz xyz?? ? ?? 故 11yzxyz yz xyzzxyx xyz xyxyz? ????? ?? 方程兩邊同時(shí)對(duì)自變量 y 求偏導(dǎo)，得： 2 ( ) 0zxyz xz yy xyz xyz?? ?? ? ? ??，整理可得 (1 ) 1xy z xzyxyz xyz?? ? ?? 故 11xzxyz xz xyzzxyy xyz xyxyz? ????? ?? ★★★ ( , )z f x y? 由方程 ( , ) 0zzF x yyx? ? ?所確定，證明 zzx y z xyxy??? ? ?。 證 ： 方法一 ： （應(yīng)用隱函數(shù)存在定理公式） 設(shè) ( , , ) ( , )zzG x y z F x yyx? ? ?，令 ,zzu x v yyx? ? ? ? 則 221 ( )x u v u vzzG F F F Fxx? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?；22( ) 1y u v u vzzG F F F Fyy? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?； 1 1 1 1z u v u vG F F F Fy x y x? ? ? ?? ? ? ? ? ? 故 22x u vz uvx G x y F zyFzx x x Gx F y F??? ?? ? ? ? ??? ???； 2 2y uvz uvyG x z F x y Fzyy y G x F y F??? ??? ? ? ? ??? ??? 22( ) ( )u v u vuvu v u vuvx y F zy F x zF x y Fzzxyxy x F y Fz x F y F x y x F y F z x yx F y F? ? ? ?? ? ? ??????? ???? ? ? ?? ? ?? ? ???? 方法二 ： 方程兩邊同時(shí)關(guān)于 ,xy求偏導(dǎo)，注意 z 是 ,xy的函數(shù)。 令 ,zzu x v yyx? ? ? ?，方程兩邊同時(shí)關(guān)于 x 求偏導(dǎo)，得： 211(1 ) ( ) 0uvz z zFFy x x x x????? ? ? ? ? ，故 2 uvuvx yF zyFzx xxF yF????? ?? ??? 又由 變量 ,xy的對(duì)稱性同樣可得： 2uvuvxz F xy Fzy yxF yF???? ?? ???， 故 22( ) ( )u v u vuvu v u vuvx y F zy F x zF x y Fzzxyxy x F y Fz x F y F x y x F y