【正文】 ??? (3) 如圖 3， 102 2 201( a r c c o s ) [ ( a r c c o s ) ]yV y d y y d y? ? ??? ? ??? (4) 如圖 4， 21ln ( 2 )exV xdx e??? ? ?? (5) 如圖 5， 112 2 2 2 2 2002 1 1 2 8 1 4xV x x d x x d x? ? ?? ? ? ? ? ???[ ( 2 + ) ( 2 ) ] 15. 解： (1) 設切點 00( , ),Ax y 則過 00( , ),Ax y 的切線方程為 0 0 0( )( )y y f x x x?? ? ?。即 220 0 0 0012 ( ) ( )2y x x x x x y xx? ? ? ? ? ?，由命題可知 0y 00011 2 2 2xy yx? ?[( + ) ]dy 3320 0 0 220 0 0 00 21 1 。 1 ( 1 , 1 ) .4 2 3 1 2y x y y y x y Ax ? ? ? ? ? ? ? 切 點 (2) 切線方程為 21yx??。 (3) 如圖 6， 114210 2( 2 1 ) 30xV x dx x dx ???? ? ? ???. 16. 解：設拋物線的方程為 2y ax bx c? ? ? ，它通過點 (1,0)A 和 (3,0)B ，故 220 4 3 . 4 3 [ ( 2 ) 1 ]9 3 0abc b a c a y a x a x a a xa b c? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ， 從 而 有 拋 物 線 的 方 程 為 .(1) 13221 2 1 201 4 4 4( 4 3 ) 。 ( 4 3 ) . .3 3 3S a x x d x a S a x x d x a S S a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? (2) 依題意有： 1 1 12 2 2 2 4 21 0 0 0 38( 4 3 ) [ ( 2 ) 1 ] [ ( 2 ) 2 ( 2 ) 1 ] 15V a x x d x a x d x a x x d x a?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 312 2 4 22 10 16( 4 3 ) [ ( 2 ) 2 ( 2 ) 1 ] 15V a x x d x a x x d x a???? ? ? ? ? ? ? ? ???. 12?? 17. 解：如圖 8， (1) 12 3 3 3221 0 20 32( ) ( ) 。 ( ) .2 3 6 6a aaa x x a a aS a x x d x S x a x d x ??? ? ? ? ? ? ? ? 312 2 3 2 1, ( ) 0 ( 0 )6 2aaS S S S a a a?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?令,1 1 1 2 22 , ( ) 2 0 , 62 2 2S a S ??? ??? ? ? ? 即 S ( ) 為 極 小 值 也 為 最 小 值 , 且 S ( ) =. (2)2122 4 4 20 221 1 2 1( ) ( )2 2 3 0xV x x d x x x d x? ? ??? ? ? ? ???. 18. 解：如圖 9， (1) 2 2 201( 1 ) , ( 1 ) l im2 2 2xaV e d x e V a e V? ??? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ??() 由 ( ) ( ) = 4 ?? (2)設曲線上所求點為 ( , )Ae?? ? ，則過該點的切線方程為 ( ) ( ) ( ) .y e f x e x??? ? ????? ? ? ? ? ? ( 1 ) .y e e x e x e? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?該切線與 y 軸的交點為： ??? 1 2 1m a x0 ( 1 )( ) ( 1 ) . ( ) 0 1 ( ) 2 .2S x e d x e S S e? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??面 積 令 19. 解：2 2 20 0 0 0 1l im l im l im ( )( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )b b bx x xx x x xb b bx e x e x ed x d x d x x de e e e?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 000 0 01 1 1 1l im ] l im l im ( ) l im l n l n 21 1 ( 1 ) 1b b bxxb x bx x x x x x xb b b bd x e d x edee e e e e e e? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?[20. 解：原式 =12 2 2 211e e 1 1l im a r c ta n ( )e e e e 2 4 4x x x bxx bd x d ee e e e? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ????? 21. 解： 2 2 2 2 2 2 2 200 0 0 04 l im 2 l im ( 2 ) [ 2 ] l im ( 2 )b b bx x x b x xb b bx e d x x d e x e x e d x x d e?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 2 20001l im ( 2 ) [ ] l im ( 2 ) ( 0 ) 1 .2bx b x x bbbx e e d x e? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? 2( 2 ) / ( 1 ) 222l im ( ) l im ( 1 ) ax a aaxaa x axxx a a ex a x a ? ?? ???? ? ? ?? ? ? ???，要使 2 1ae? ? ，取 ? 22. 解：如圖 10， (1) 0 2 2 2 0 200 11l im l im 1 .22x x x x baabS e d x e d x e e?? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???當 0t? 時， 221 [ ( ) ] ( ) 2 . ( ) 1 2 ( 0 ) .ttS t t F t te S t te t??? ? ? ? ? ? ? ? (2) 2 2 22( 2 ) 2( 2 1 ) .t t tS e te t e? ? ?? ? ? ? ? ?令 ( ) 0St? ? 得唯一駐點 12x? ，又211 1 1( ) 4 ( 2 2 ) . ( ) 0 ( ) ( ) 1 .2 2 2tS t t e S S S e?? ??? ? ? ? ? ? ?為 極 小 值 也 是 最 小 值 . 最 小 值 習題六（ A） 5．求下列函數(shù)的定義域并畫出定義域的示意圖： （ 1） z x y??； 解： ? ?? ?0,0, 2 ???? xxyyxDz （ 2） 2ln( 2 1)z y x? ? ?； 解： ? ?? ?12, 2 ??? xyyxDz 9．設 2211( , )2yxf x y x y?? ?，求 ( , )f xy 。 解：令 .1,1vyuxvyux ???? )2(1211),(2222uvuvvuvuuvvuf?????? )2(),(22xyxy yxyxf ???? 13．求下列函數(shù)的偏導數(shù)： （ 1） arctan xyzxy?? ? 解： 222 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ),1 ( ) 1 ( )x y x y x y x yz y z xx y x yx y x yx x y y x yx y x y? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ???? ? ? ???－ （ 2） cos sinxyzyx? 解：xxyyxyxxyyxyzxyxyyxyxyyxxz1c o sc o ss i ns i n)(c o sc o s1s i ns i n22?????????????? （ 3） yxz x y?? 解： 1 lnyxz yx y yx?? ???， 1lnyxz x x xyy?? ??? （ 4） 22yxz x a rcra n y a rcra nxy?? 解：yxyxyxyyxxyxyxyyxyxyxxyxxz??????????????a r c t a n2a r c t a n2111a r c t a n222322222222 yxyxyxyxyyxyxyxxyza r c t a n21a r c t a n21122222222?????????? （ 5） sin( )xyz e x y?? 解：)c os ()s i n ()c os ()s i n (yxeyxxeyzyxeyxyexzxyxyxyxy???????????? （ 7）221 xyzexy? ? 解：2222222222)( 2)(,)( 2)( yx yeyxxeyzyx xeyxyexzxyxyxyxy? ?????? ????? 15．設 22arctan xyzxy?? ?，試證： sin 22z z zxyxy????。 證明： 222222222222)()(2)(1)()(2yxyxyxyxyxyxyxyxyxxxz???????????????? 222222222222)()(2)(1)()(2yxyxyxyxyxyxyxyxyxyyz???????????????? 222222222222 )()())((2)(12t a n1t a n22s i nyxyxyxyxyxyxyxyxzzz?????????????? 2 2s i n)()( ))(()()( 22222222223223 zyxyx yxyxyxyx yxyyxxxzyxzx ???? ?????? ????????? 17．求下列函數(shù)的二階偏導數(shù)： （ 1） c os si nyxz x e y e?? 解： xyyxxy eexeyzeyeexz s i ns i n,c osc os ????????? yyyyxxyyxxxxexeexey zeeeeyx zeyeeyex zc o ss i nc o ss i n,s i nc o s2222222??????????????? （ 2）22xz xy? ? 解：22222222222222)( 2,)()( 2 yx xyyzyx xyyx xyxxz ????????? ????? 32223422222222222)( 62)( 2)(2)()(2 yx xyxyx xyxyxyxxx z ???? ???????? 3223242222222222)( 26)( 4))(()(2 yx yyxyx yyxyxyxyyx z ? ??? ???????? 322324222222222)( 26)( 2)(22)(2 yx xxyyx yyxxyyxxy z ? ??? ???????? （ 3） arcsin( )z xy? ； 解：2222 1,1 yxxyzyxyxz ???????? ， ,)1(11)2()1(21,)1(1)2()1(22322222212222223223222212222yxyxyxyxyyxyxzyxxyyxxyyxyxz??????