【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 6 1 60 0 0 09 1 19 ( 9 )9 9 99d x x x d x x d x x d xxx ??? ? ? ? ???? ? ? ? 33221 6 1 612 [ ( 9 ) ] 1 20093 xx? ? ? ? (9) 1 0 1 11 1 001 2 ( 1 )10x x x x xe d x e d x e d x e e e? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? (10) 22002s in ( c o s ) c o s 00x d x d x x?? ?? ? ? ? ??? (12) 3 3 34 4 41 1 122 2 2a r c si n 2a r c si n 2 a r c si n ( a r c si n )( 1 ) 2 1 ( )x d xd x x x d xxx xx??? ?? ? ? 22 2 231 3 2 742 a r c sin ( a r c sin ) ( a r c sin )12 2 2 1 4 42x ?? ? ? ? ? ?（ ） 12. 用變量代換法計(jì)算下列定積分。 (2) 223 3 3 3 321 4 4 4 4s e c s in ( c o s ) ta n ta n s in s in 1 c o s1d x t d t td t d tx t d tt t t txx ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? 3 3 34 4 41 1 1 1 ( 1 c o s ) 1 ( 1 c o s )()2 1 c o s 1 c o s 2 1 c o s 2 1 c o sd t d tdt t t t? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?( ) c o s t 1 1 3 ( 1 2 )33l n ( 1 c o s ) l n ( 1 c o s ) l n2 2 344tt???? ? ? ? ? (3) 112 2 2 2 2 2 2221 0 0 011 2 1 s in 2 s in c o s ( s in 2 )2x x d x x x d x x t t td t t d t??? ? ? ? ? ?? ? ? ? 22001 1 c o s 4 1 1[ c o s 4 ]2 2 2 4 2 8t d t td t?? ???? ? ? ??? (6) 2 332222 44s e c ta n 3 2 s e c c o ss e c ta n 21d x t tx t d t td tttxx????? ? ???? ? ? (7) 10 1 111 l n ( ) l n l n ( 1 ) 1 l n ( 1 ) l n 2111 ( 1 ) 1eex eed x d tx t d t t t ee t t t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? (9) 2 221 0 02( 1 ) 2 1 2 ( 3 1 )01 l n 1 1te ttd x e d t d tx e tx x e t t?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? (11) 222l n l n 24 2 220 0 011ta n l n c o s l n c o s ( l n 2 )81ttt teex x d x t x t d t td te e? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?令 (12) 3 20 0 0 2s in s in c o s s in c o s s in c o s s inx x d x x x d x x x d x x x d x?? ? ??? ? ? ?? ? ? ? 31 0 1 20 1 024s in 2 ( )33t x t d t t d t d t? ? ? ?? ? ? (13) 21 1 122 2 20 0 0 0 11 l n ( 1 ) 2 2 2 1 21 1 1 2x tte d x x t td t d t d tt t t ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?ln2 令 （ ） 13. 用分布積分法計(jì)算下列定積分。 (1) l n 2 l n 2 l n 20 0 0l n 2 l n 2l n 2 1 l n 2[]00 22x x x x xx e d x x d e x e e d x e? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? (2) 22l n 2 l n 23 2 20 0 01 1 1 l n 22 2 4x x xx e d x x e d x x e d x? ? ? ?? ? ?? ? ?ln2 (3) 2 2 2 22 2 20 0 011c o s c o s [ c o s s in ]22x x x xI e x d x x d e x e e x d x? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 22 201 1 1 1[ si n c os ]22 4 2 4 40xxex e e x dx I? ??? ? ? ? ? ? ? ? ??.從而 2 4eI ??? ? 1 ( 2 )5Ie?? ? ? ? ?。 (5) 21 1 122220 0 01 2 1 1l n ( 1 ) l n ( 1 ) l n 2 20 11xxx d x x x x d x d x??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? 1120011l n 2 2 [ ] l n 2 2 [ 1 a r c ta n ] l n 2 2022d x d x xx ?? ? ? ? ? ? ? ? ???? (7) 111 1 1111 12l n l n l n ( l n ) l n 21 1e e ee e eex dx x dx x dx x x x dx x x dxxee? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 14. 計(jì)算下列定積分。 (1) 1 1 1 1 12 1 2 111 0 0 022 1 1 1( 2 1 ) 22 2 2txx x x t te d x e d x e d x e td t td e???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 101 10ttt e e dt? ? ? ?? (2) 1 1 12 2 22 2 220 0 011 1 1 1 1 1 ( 1 1 )l n l n [ l n ]11 2 1 2 1 1 ( 1 )2x x x x x xx dx dx x x dxx x x x x? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 1 1 1 1222 2 2 22 2 2 20 0 0 01 l n 3 2 l n 3 1 1 l n 3 1 l n 3 1 1[ ] ( 1 )2 4 1 8 1 8 1 8 2 1xxd x d x d x d xx x x x??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?120l n 3 1 1 1 1 l n 3 1 l n 3 1 3 l n 3)8 2 2 1 1 8 2 2 2 8dxxx? ? ? ? ? ? ? ? ???? ( (4) 2t a n33 233 3 320 0 0 0 02 ta n s e c 2 s e c s e c1 s e c1t x t xx t xd x d t x d x x d x xxx t ? ? ???? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ?( d x ) 令 323 3 30 0 0se c se c ta n ta n se c ta n se c30I x d x x d x x x x x d x? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? 233 3 3 30 0 0 02 3 ( s e c 1 ) s e c 2 3 s e c s e c 2 3 s e cx x d x x d x x d x I x d x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 故： 3013 sec2I xdx??? ? 。又 30 se c l n se c ta n l n( 2 3 )30x dx x x? ?? ? ? ?? 12 [ 3 l n ( 2 3 ) l n ( 2 3 ) ] 2 3 l n ( 2 3 )2? ? ? ? ? ? ? ? ?原 式 22. 求 下列曲線圍成的平面圖形的面積。 (1) ,0xy e y e x? ? ?與 。 解：如圖 3 所示，面積11l n l n 11eeeS y d y y y d y? ? ? ? ??? (3) 2 2 , 4。y x y x? ? ? 解：如圖 4 所示，面積 44 2 2 3221 1 1( 4 ) 1 82 2 6S d y y??? ? ? ? ???[ ( y + 4 ) y ] d y y (4) 1 ,2y y x xx? ? ?與 ； 解：如圖 5 所示，面積 21 13( ) ln 22S x dxx? ? ? ?? (5) 2 ,2y x y x y x? ? ?與 ； 解：如圖 6 所示 ，面積 12 201 7( 2 ) ( 2 ) 6S x x d x x x d x? ? ? ? ??? 23. 求由拋物線 2 43y x x? ? ? ?及其在點(diǎn) (0, 3)? 和 (3,0) 處的切線所圍成的圖形的面積。 解： 2 4 ( 0) 4 , ( 3 ) 2y x y y? ? ?? ? ? ? ? ? ?。 ( 0 , 3 ) y = 4 x 3??過(guò) 點(diǎn) 的 切 線 為，過(guò) 點(diǎn)（ 3， 0）的切線為 26yx?? ? 。當(dāng) 4 3 2 6xx? ? ? ? 時(shí) 3 ,2x? ? ? 兩 切 線 的交點(diǎn)為 3( ,3)2 。如圖 7 所示，面積 3 322230 2[ ( 4 3 ) ( 4 3 ) ] [ ( 2 6 ) ( 4 3 ) ]S x x x d x x x x d x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 3 322230 2 9( 6 9 ) 4x d x x x d x? ? ? ? ??? 24. 求 si n c os 0 2y x y x x x ?? ? ? ?與 在 與之間所圍成的圖形的面積。 解：如圖 8 所示，面積 5 24450 44( c o s s in ) ( s in c o s ) ( c o s s in )S x x d x x x d x x x d x?? ???? ? ? ? ? ?? ? ? 5 24( sin c o s ) ( c o s sin ) ( sin c o s ) 4 24 50 44x x x x x x?????? ? ? ? ? ? ? ? 25. 設(shè) 2 , [0,1]y x x??，問(wèn) t 為何值時(shí)，圖中陰影部分的面積 12S S S與 之 和 最?。孔畲?？ 解：如圖 9 所示面積 12 2 2 2 3 212 0 41( ) ( ) 33t tS S S t x d x x t d x t t? ? ? ? ? ? ? ? ??? 2 124 2 2 ( 2 1 ) . 0 0 , 1S t t t t S t t??? ? ? ? ? ? ?令 得。又 1 1 2( 0 ) , ( ) , (1 )3 2 4 3S S S? ? ? 1 1 4 3? 當(dāng) t= 時(shí) ,S 最 小 為 。 當(dāng) t= 時(shí) ,S 最 大 為 29. 設(shè)某產(chǎn)品投放市場(chǎng)后都轉(zhuǎn)化為商品，當(dāng)銷售量為 Q (百臺(tái) )時(shí)， 其邊際成本函數(shù)為1( ) 4 4C Q Q? ?? (萬(wàn)元 /百臺(tái) )，其邊際收益函數(shù)為 ( ) 8R Q Q? ?? (萬(wàn)元 /百臺(tái) )。 求： (1) 總成本函數(shù) ()CQ 和總收益函數(shù) ()RQ 。 (2) 問(wèn)月銷售量為多少臺(tái)時(shí)，才能獲得最大利潤(rùn)。并求出獲得最大利潤(rùn)時(shí)的總收益 R 和平均收益 R 。假若固定 成本 0 1C? (萬(wàn)元 )。 解： (1)由題意 200 11( ) ( 4 ) 4 148QC Q Q d Q C Q Q? ? ? ? ? ?? ，20 1( ) ( 8 ) 8 2QR Q Q d Q Q Q? ? ?? (2) 25 418L R C Q Q? ? ? ? ? ?, 5 4 , 0 3 .24L Q L Q??? ? ? ? ?令 得 唯 一 駐 點(diǎn). 又 5 04L?? ?? ? 所以當(dāng) ? 取極大值也是最大值。即當(dāng)月銷售量為 臺(tái)是才能獲得 最大利潤(rùn) () ( )L ? 萬(wàn) 元。此時(shí) 2 0 . 4 8( 3 . 2 ) 2 0 . 4 8 , 6 . 43 . 2RR? ? ? 30. 生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本 0 50C? 萬(wàn)元，邊際成本與邊際收益分別為 2 14 111M C Q Q? ? ? (萬(wàn)元 /單位 )， 100 2MR Q??(萬(wàn)元 /單位 )，試求廠商的最大利潤(rùn)。 解：利潤(rùn) 20 00( 1 0 0 2 ) ( 1 4