【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 3 2 2 2 4 dx x ? 1 x ? 2 1 2 1 1 3 5 4 3 6 5 于是 6 6 2 2 1 3 x( x ? 3 x ) 2 6 1 ? 6(ln t ? ln(t ? 1)) ? 7 ln 2 ? 6 ln(1 ? 6 2) 此文檔由天天 learn（ 6 天天 learn（ ? (12)? ? cos x ? cos xdx ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? x3 sin 2 x ? ? ? sin 4? 2 2 ? π ? ? x ? ? ln ? x ? 1 ? x2 ? dx ? 0 . 2 ?1 dx dx ?x 1 ? x 2 2x (x＞ 0)； x3 sin 2 x ? (2) ? ? 3 ? 2 ? 2 ? ? 2 0 ? 2 0 ? 2 cos x sin x dx ? cos x (? sin x)dx ? ?02 cos x ? sin xdx ? cos xdcosx ??02 cos xdcosx 4 3 ? 2 0 ? 2 0 ? 3 ? cos 2 x 3 3 ? cos 2 x 3 ? 2. 利用被積函數(shù)的奇偶性計(jì)算下列積分值： (1) a ? a ln( x ? 1 ? x2 )dx (a 為正常數(shù) )； 5 ?5 x4 ? 2 x2 ? 1 dx 。 (3) ? 2 ? 2 4 cos4 ? d? . 解 (1) ? f ( x) ? ln ? x ? 1 ? x2 ? 是奇函數(shù) . a ? a x3 sin 2 x x 4 ? 2 x2 ? 1 (2) ? f ( x) ? 是奇函數(shù) . dx ? 0 5 ?5 x4 ? 2 x2 ? 1 1 4 3 2 π 2 0 π 2 0 π 2 0 ? 3? ? 2sin 2? (3) ? f (? ) ? cos4 ? 是偶函數(shù) . π π π 2 ? 0 0 2 π 2 0 π ? 2?02 ( 2 ? 2 cos 2? ? 2 cos 4? )d? π 2 0 3. 證明下列等式： (1) a 0 1 a2 x3 f ( x2 )dx ? xf ( x)dx (a 為正整數(shù) )； (2)證明： 1 1 1 1 ?此文檔由天天 learn（ 7 天天 learn（ x3 f ( x2 )dx ? ? t t f (t ) ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx . dt ? ? ? t ? t 1 ? t 1 1 ? t 1 1 ? x2 dx dx ?x 1 ? x2 ? ?1x 1 ? x2 . ? F (? x) ? ? f (t )dtt ? ?u ? ? ? f (u)du ? ? F ( x) , ? x3 f ( x2 )dx ? 2 2 ?0 ?0 tf (t )dt ? f (?u)du ? ? f ( x)dx令 x ? t ? T ? ? f (t )dt ? f ( x)dx ? ? ? f ( x)dx ? ? f (t ? T )dt ? ? ? ? ? ? f ( x)dx, 則 dx ? 2 dt , 2 ?0 f ( x)dx ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx . ? ? ? dx ?x 1 ? x 2 ? ?1t 1 ? 2 ? ?? ? 3 ??dt ? ??1 1 1 1 1 ?dt ? ? t x T 0 a ?T a 證 1 2 t (1)令 x2=t,則 x ? t , dx ? dt , 當(dāng) x=0 時(shí) ,t=0。當(dāng) x=a 時(shí) ,t=a2, 于是 a 0 a2 0 1 a2 1 a2 xf ( x)dx 1 2 t dt ? 即 a 0 1 a2 xf ( x)dx . 1 t (2)令 x ? ?1 t 1 1 1 1 1 2 2 dx 1 1 t 即 1 1 (3)由于 T a ?T 0 a a ?T a f ( x)dx ,而 a a 0 0 a T T 0 0 a a ?T a 故有 T 0 a ?T a 4. 若 f(t)是連續(xù)函數(shù)且為奇 函數(shù)，證明 x 0 f (t )dt 是偶函數(shù)；若 f(t)是連續(xù)函數(shù)且為偶函數(shù)， 證明 x 0 f (t )dt 是奇函數(shù) . 證 x 0 令 F ( x) ? f (t )dt . 若 f(t)為奇函數(shù) ,則 f(t)= f(t),從而 x x x 0 0 0 x 0 所以 F ( x) ? f (t )dt 是偶函數(shù) . 若 f(t)為偶函數(shù) ,則 f(t)=f(t),從而 x x 0 0 ? x 0 此文檔由天天 learn（ (3) 設(shè) f(x)是定義在 (∞， +∞)上的周期為 T 的連續(xù)函數(shù)，則對(duì)任意 a∈ ［－ ∞，＋ ∞），有 8 天天 learn（ ? 0 0 ? ? ? ? ? e cos xdx 。 ? ? ?( F ?( x) ? ? x ? ? 2tf (t )dx ? ? ? f (t )dt ? xf ( x) ? 2 xf ( x) ? ? f ( x)dx)du ? ? f (u)du ? uF (u) 0x ? ? uF ?(u)du ? ( x sin x) dx 。 ? x ? f (u)( x ? u)du ? ? ?? ? xe dx 。 ? x3e dx 。 ? x 0 所以 F ( x) ? f (t )dt 是奇函數(shù) . x 0 ( x 2t ) f (t )dt ,試證：若 f(x)單調(diào)不減，則 F(x)單 5. 設(shè) f(x)在 (∞， +∞)內(nèi)連續(xù)，且 F(x)= 調(diào)不增 . 證 0 x x ? x f (t )dt ? x 0 其中 ? 在 x 與 0 之間 .當(dāng) x0 時(shí) ,x ? ,由 f(x)單調(diào)不減有 f (? ) ? f ( x) ? 0 ,即 F ?( x) ? 0 。當(dāng) x0 時(shí) , ? x,由 f(x)單調(diào)不減有 f (? ) ? f ( x) ? 0 ,即 F ?( x) ? 0 。綜上所述知 F(x)單調(diào)不增 . 習(xí)題 64 1. 利用分部積分公式證明： x 0 x 0 u 0 f ( x)dx du . 證 u 0 令 F (u) ? f ( x)dx 則 F ?(u) ? F (u) , 則 x u 0 0 x x 0 0 x x x 0 0 0 x x x x 0 0 0 0 x 0 即等式成立 . 2. 計(jì)算下列定積分： (1) 1 0 ? x (2) e 1 x ln xdx 。 (3) 4 1 ln x x (4) dx 。 x sin 2 x ? 3 ? 4 ? dx 。 2 x (5) (7) 2 ? 2 0 π 0 (6) (8) 2 1 e 1 x log 2 xdx 。 sin(ln x)dx ； (9) 2 ln 2 ?0 (10) 1 2 0 x ln 1 ? x 1 ? x dx . 此文檔由天天 learn（ 9 天天 learn（ (3)? ? xe dx ? ?? xde? x ? ? xe? x 10 ? ? e dx ? x ? x (7)? ( x sin x) dx ? 2 ? 2? e sin xdx ? ?e?1 ? e?1 ? e0 ? 1 ? . 2 2 ? 4? 2 e cos xdx 1 e (2)? ? ln xdx2 ? x ln xdx ? 2 1 x ln x 1e ? ? xdx ? e2 ? x2 ? (e2 ? 1) (5)? ? e dsinx ? e sin x ?0 x (1 ? cos 2 x)dx ? 2 ( 3 x 0π ? 2 ?0 x dsin2 x) π ? ? ? π ? ln (4 ln 2 ? ) ? 2 ? ln x 1 dx ? 2? ln xd x ? 2 x ln x 14 ? 2? x x 2 ?1 ln xdx ? 2 ln 2 x2 ln x 12 ? ?1 xdx 1 ? (6